Câu 75: Cho tam giác ABC cân tạiA) Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo góc BCD
Ta có: ∆ABC cân tại A
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {{C_1}}\) (tính chất tam giác cân)
Lại có: AD = AB (gt)
=>AD = AC do đó ∆ACD cân tại A
\( \Rightarrow \widehat D = \widehat {{C_2}}\) (tính chất tam giác cân)
Mà \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\)
Nên \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat B + \widehat D\) (1)
Trong ∆BCD, ta có:
\(\widehat B + \widehat D + \widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(2\widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ \)
Câu 76: Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E. Tính tổng DE + DF.
Ta có: DF // AC (gt)
\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\) (hai góc đồng vị) (1)
Lại có: ∆ABC cân tại A
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{D_1}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Hay ∆BFD cân tại F => BF = DF
Nối AD. Xét ∆AFD và ∆DEA, ta có:
\(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {E{\rm{AD}}}\) (so le trong vì DF // AC)
AD cạnh chung
\(\widehat {F{\rm{D}}A} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (so le trong vì DE // AB)
Suy ra: ∆ADF = ∆DAE (g.c.g) => AF = DF (hai cạnh tương ứng)
Vậy: DE + DF = AF + BF = AB = 3(cm)
Câu 77
Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều.
Ta có: AB = AD + DB (1)
BC = BE + EC (2)
Advertisements (Quảng cáo)
AC = AF + FC (3)
AB = AC = BC (gt) (4)
AD = BE = CF (gt) (5)
Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:
BD = EC = AF
Xét ∆ADF và ∆BED, ta có:
AD = BE (gt)
\(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều)
AE = BD (chứng minh trên)
Suy ra: ∆ADF = ∆BED (c.g.c)
Suy ra: DF = DE (hai cạnh tương ứng) (6)
Xét ∆ADF và ∆CFE ta có:
AD = CF (gt)
\(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều)
EC = AF (chứng minh trên)
Suy ra : ∆ADF = ∆CFE (c.g.c)
Suy ra: DF = FE (hai cạnh tương ứng) (7)
Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE
Vậy ∆DEF đều.
Câu 78: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E. Chứng minh rằng DE = BD + CE
Ta có: DI // BC (gt)
\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong) (1)
Lại có: \({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\) (2)
(vì BI là tia phân giác của \(\widehat B\))
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\)
\( \Rightarrow \) ∆BDI cân tại D => BD = DI (3)
Mà IE // BC (gt) => \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\) (so le trong) (4)
Đồng thời: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (Vì CI là tia phân giác của \(\widehat {{C_1}}\)) (5)
Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\) => ∆CEI cân tại E
\( \Rightarrow \) CE = EI (hai cạnh tương ứng) (6)
Từ (3) và (6) suy ra: BD + CE = DI + EI = DE.
