Bài 58: Với giá trị nào của a thì hai phương trình sau có nghiệm chung:
\(x^2+ x + a = 0\) và \(x^2+ ax + 1 = 0\)
Giả sử \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình, ta có:
\({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (1)
\({x_0}^2 + {\rm{ }}a{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (2)
Lấy (1) trừ (2) ta có:
\((1 – a){x_0} + a – 1 = 0 \Leftrightarrow (1 – a)({x_0} – 1) = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
{x_0} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Với \({x_0}= 1 ⇒ a = -2\)
Với \(a = 1\) thì \({x_0}^2 + {\rm{ }}{x_0} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vô nghiệm)
Với \(a = -2\) hai phương trình \({x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm chung là \(x = 1\)
Vậy \(a = -2\)
Bài 59: Cho các phương trình:
\(x^2+ 3x – m + 1 = 0\) (1) và \(2x^2- x + 1 – 2p = 0\) (2)
a) Biện luận số nghiệm của mỗi phương trình bằng đồ thị.
b) Kiểm tra lại kết quả trên bằng phép tính.
a)
* Xét phương trình \({x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta có: (1) \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}m{\rm{ }}\)
Gọi (d) là đường thẳng \(y = m\).
Đồ thị hàm số \(y = x^2+ 3x + 1\) là parabol (P) có đỉnh là điểm \((-1,5; -1,25)\) và hướng bề lõm lên trên.
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó:
+ Khi \(m < -1, 25\) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.
+ Khi \(m = -1,25\) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
+ Khi \(m > -1,25\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
* Xét phương trình \(2x^2- x + 1 – 2p = 0\) (2)
(2) \(⇔ 2x^2 – x + 1 = 2p\)
Gọi (d) là đường thẳng \(y = 2p\); (P) là parabol \(y = 2x^2– x + 1 \)
Parabol (P) có đỉnh tại điểm: \(({1 \over 4};\,{7 \over 8})\) và hướng bề lõm lên trên.
Do đó:
+ Nếu \(2p < {7 \over 8}\) , tức là \(p < {7 \over {16}}\) thì (d) không cắt (P), phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(2p = {7 \over 8}\) , tức là \(p = {7 \over {16}}\) thì (d) và (P) có một điểm chung, phương trình có một nghiệm.
+ Nếu \(2p > {7 \over 8}\) , tức là \(p > {7 \over {16}}\) thì (d) cắt (P) tại hai điểm chung, phương trình có hai nghiệm.
Bài 60: Giải các hệ phương trình
a)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} – xy = 3 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
2{(x + y)^2} – xy = 1 \hfill \cr
{x^2}y + x{y^2} = 0 \hfill \cr} \right.\)
a) Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{S^2} – 2P + P = 7 \hfill \cr
{S^2} – 2P – P = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} – P = 7 \hfill \cr
{S^2} – 3P = 3 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 3; P = 2\) thì x, y là nghiệm của phương trình:
\({X^2} – 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
X = 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm \((1, 2); (2, 1)\)
+ Với \(S = -3, P = 2\), ta có nghiệm \((-1, -2); (-2, -1)\)
Vậy hệ có 4 nghiệm là: \((1, 2); (2, 1); (-1, -2); (-2, -1)\)
b) Đặt \(S = x + y; P = xy\), ta có:
\(\left\{ \matrix{
2{S^2} – P = 1 \hfill \cr
SP = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = 0 \hfill \cr
P = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right.\)
+ Với \(S = 0; P = -1\) thì x, y là nghiệm phương trình
\({X^2} – 1 = 0 ⇔ X = ± 1\), ta có nghiệm \((1, -1); (-1, 1)\)
+ Với \(S = \pm {1 \over {\sqrt 2 }} ; P = 0\), ta có nghiệm: \((0,\,{1 \over {\sqrt 2 }});\,({1 \over {\sqrt 2 }},0);\,(0,\, – {1 \over {\sqrt 2 }});\,( – {1 \over {\sqrt 2 }},0)\)
Bài 61: Giải và biện luận các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
mx + 3y = m – 1 \hfill \cr
2x + (m – 1)y = 3 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
5x + (a – 2)y = a \hfill \cr
(a + 3)x + (a + 3)y = 2a \hfill \cr} \right.\)
a) Ta có:
+ Với \(m ≠ 3\) và \(m ≠ 2\) hệ có nghiệm duy nhất \((x, y)\)
Với \(x = {{m – 4} \over {m – 3}};\,y = {1 \over {m – 3}}\)
+ Với \(m = 3\): hệ vô nghiệm (do Dy = 5 ≠ 0)
+ Với \(m = -2\) hệ thành
\(\left\{ \matrix{
– 2x + 3y = – 3 \hfill \cr
2x – 3y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {1 \over 3}(2x – 3)\)
Hệ có vô số nghiệm
b) Ta có:
+ Với \(a ≠ -3\) và \(a ≠ 7\) hệ có nghiệm duy nhất \((x, y)\) với \(x = y = {a \over {a + 3}}\)
+ Với \(a=-3\)
+ Với \(a = 7\), hệ thành
\(\left\{ \matrix{
5x + 5y = 7 \hfill \cr
10x + 10y = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = – x + {7 \over 5}\)
Hệ có vô số nghiệm \(\left( {x;{7 \over 5} – x} \right),\,x \in\mathbb R\)
