Bài 22: Giải các phương trình
a) \({{2({x^2} – 1)} \over {2x + 1}} = 2 – {{x + 2} \over {2x + 1}}\)
b) \({{2x – 5} \over {x – 1}} = {{5x – 3} \over {3x + 5}}\)
a) \({{2({x^2} – 1)} \over {2x + 1}} = 2 – {{x + 2} \over {2x + 1}}\)
Điều kiện: \(x \ne – {1 \over 2}\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2({x^2} – 1)} \over {2x + 1}} = 2 – {{x + 2} \over {2x + 1}}\cr& \Leftrightarrow 2({x^2} – 1) = 2(2x + 1) – (x + 2) \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 2 = 4x + 2 – x – 2 \cr& \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr
x = – {1 \over 2}\,(\text{loại} )\hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {2}
b) \({{2x – 5} \over {x – 1}} = {{5x – 3} \over {3x + 5}}\)
Điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr
x \ne – {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2x – 5} \over {x – 1}} = {{5x – 3} \over {3x + 5}}\cr& \Leftrightarrow (2x – 5)(3x + 5) = (5x – 3)(x – 1) \cr
& \Leftrightarrow 6{x^2} + 10x – 15 x- 25 = 5{x^2} – 5x – 3x + 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 3x – 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4\;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr
x = – 7\;( \text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {-7, 4}
Bài 23: Giải phương trình sau \({{m – 3} \over {x – 4}} = {m^2} – m – 6\) trong mỗi trường hợp sau:
a) m = 3
b) m ≠ 3
a) Với m = 3, phương trình nghiệm đúng ∀x ≠ 4
Vậy S = R\{4}
b)
Với m ≠ 3, ta có:
\(\eqalign{
& {{m – 3} \over {x – 4}} = {m^2} – m – 6 \cr
& \Leftrightarrow {{m – 3} \over {x – 4}} = (m – 3)(m + 2) \cr&\Leftrightarrow {1 \over {x – 4}} = m + 2\,\,(1) \cr} \)
+ Nếu m ≠ -2 thì (1) ta được:
\(\eqalign{
& x – 4 = {1 \over {m + 2}} \cr
& \Leftrightarrow x = 4 + {1 \over {m + 2}} = {{4m + 9} \over {m + 2}}\,\,\,\,\,(x \ne 4) \cr} \)
+ Nếu m = -2 thì (1) vô nghiệm
Vậy m = -2, S = Ø
m = -3; S = R\{4}
Advertisements (Quảng cáo)
m ≠ -2 và m ≠ 3: \(S = {\rm{\{ }}{{4m + 9} \over {m + 2}}{\rm{\} }}\)
Bài 24: Giải và biện luận các phương trình (a và m là những tham số)
a) \(|2ax + 3| = 5\)
b) \({{2mx – {m^2} + m – 2} \over {{x^2} – 1}} = 1\)
a) Ta có:
\(|2ax + 3| = 5\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax + 3 = 5 \hfill \cr
2ax + 3 = – 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax = 2 \hfill \cr
2ax = – 8 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(1)\)
Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu a ≠ 0 thì (1)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over a} \hfill \cr
x = – {4 \over a} \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over a};{{ – 4} \over a}{\rm{\} }}\)
b) Điều kiện: \(x ≠ ± 1\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2mx – {m^2} + m – 2} \over {{x^2} – 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 2mx – {m^2} + m – 2 = {x^2} – 1 \cr
& \Leftrightarrow f(x) = {x^2} – 2mx + {m^2} – m + 1 = 0\,\,\,\,(1) \cr} \)
Δ’ = m2 – (m2 – m + 1) = m – 1
+ Với m > 1
i) \(m\ne 2 \) (1) ⇔ \(x = m \pm \sqrt {m – 1}\)
ii) m = 2
Advertisements (Quảng cáo)
\((1) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,(\text{loại}) \hfill \cr
x = 3 \,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right.\)
+ Với m < 1, (1) vô nghiệm
+) Với m = 1, (1) có nghiệm kép x = 1 (loại)
Vậy
+) m = 2; S = {3} (loại nghiệm x = 1)
+) m >1 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}m \pm \sqrt {m – 1} {\rm{\} }}\)
+ m \(\le\) 1; S = Ø
Bài 25: Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là tham số)
a) \(|mx – x + 1| = |x + 2|\)
b) \({a \over {x + 2}} + {1 \over {x – 2a}} = 1\)
c) \({{mx – m – 3} \over {x + 1}} = 1\)
d) \({{3x + k} \over {x – 3}} = {{x – k} \over {x + 3}}\)
a) Ta có:
\(|mx – x + 1| = |x + 2|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx – x + 1 = x + 2 \hfill \cr
mx – x + 1 = – x – 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m – 2)x = 1 \hfill \cr
mx = – 3 \hfill \cr} \right.\)
+ Với m = 2; \(S = {\rm{\{ – }}{3 \over 2}{\rm{\} }}\)
+ Với m = 0; \(S = {\rm{\{ }} – {1 \over 2}{\rm{\} }}\)
+ Với m ≠ 0 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {m – 2}}; – {3 \over m}{\rm{\} }}\)
b) Điều kiện: x ≠ 2 và x ≠ 2a
Ta có:
\(\eqalign{
& {a \over {x – 2}} + {1 \over {x – 2a}} = 1 \cr&\Leftrightarrow a(x – 2a) + x – 2 = (x – 2)(x – 2a) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 3(a + 1)x + 2{(a + 1)^2} = 0 \cr} \)
Δ = 9(a + 1)2 – 8(a + 1)2 = (a + 1)2
Phương trình có hai nghiệm là:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} = {{3(a + 1) + a + 1} \over 2} = 2a + 2 \hfill \cr
{x_2} = {{3(a + 1) – (a + 1)} \over 2} = a + 1 \hfill \cr} \right.\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_1} \ne 2 \hfill \cr
{x_1} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + 2 \ne 2 \hfill \cr
2a + 2 \ne 2a \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr
2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 0 \cr
& \left\{ \matrix{
{x_2} \ne 2 \hfill \cr
{x_2} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + 1 \ne 2 \hfill \cr
a + 1 \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 1 \cr} \)
Vậy: a = 0 thì S = {1}
a = 1 thì S = {4}
a ≠ 0 và a ≠ 1 thì S = {2a + 2; a + 1}
c) Điều kiện: x ≠ -1 thì phương trình tương đương với:
mx – m – 3 = x + 1 ⇔ (m – 1)x = m + 4 (1)
+ Nếu m = 1 thì 0x = 5 phương trình vô nghiệm
+ Nếu m ≠ 1 thì (1) có nghiệm \(x = {{m + 4} \over {m – 1}}\)
\(x = {{m + 4} \over {m – 1}}\) là nghiệm của phương trình đã cho :
\( \Leftrightarrow {{m + 4} \over {m – 1}} \ne – 1 \Leftrightarrow m + 4 \ne – m + 1 \Leftrightarrow m \ne – {3 \over 2}\)
Vậy:
\(\eqalign{
& i)\left\{ \matrix{
m \ne – {3 \over 2} \hfill \cr
m \ne 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,:\,\,S = {\rm{\{ }}{{m + 4} \over {m – 1}}{\rm{\} }} \cr
& ii)\left[ \matrix{
m = – {3 \over 2} \hfill \cr
m = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,:\,\,\,\,S = \emptyset \cr} \)
d) Điều kiện: x ≠ ±3
Ta có:
\(\eqalign{
& {{3x + k} \over {x – 3}} = {{x – k} \over {x + 3}} \cr&\Leftrightarrow (3x + k)(x + 3) = (x – k)(x – 3) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + (k + 6)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\,\,\,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr
x = – k – 6 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Kiểm tra điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x \ne 3 \hfill \cr
x \ne – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– k – 6 \ne 3 \hfill \cr
– k – 6 \ne – 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k \ne – 9 \hfill \cr
k \ne – 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy: k = -3 hoặc k = -9 thì S = {0}
k ≠ -3 hoặc k ≠ -9 thì S = {0, -k, -6}
