Bài 3 Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Sách bài tập Toán Hình học 10. Giải bài 2.33, 2.34, 2.35, 2.36 trang 102 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 2.33: Chứng minh rằng…
Bài 2.33: Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.
a) Tính \({m_a}\), biết rằng a = 26, b = 18, c = 16
b) Chứng minh rằng: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\)
a) \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} – {{{a^2}} \over 4} = {{{{18}^2} + {{16}^2}} \over 2} – {{{{26}^2}} \over 4}\)
\(\eqalign{
& = {{324 + 256} \over 2} – {{676} \over 4} = {{484} \over 4} \cr
& = > {m_a} = {{22} \over 2} = 11 \cr} \)
b) \(\left\{ \matrix{
m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} – {{{a^2}} \over 4} \hfill \cr
m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} – {{{b^2}} \over 4} \hfill \cr
m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} – {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m_a^2 = 2({b^2} + {c^2}) – {a^2} \hfill \cr
m_b^2 = 2({a^2} + {c^2}) – {b^2} \hfill \cr
m_c^2 = 2({a^2} + {b^2}) – {c^2} \hfill \cr} \right.\)
Ta suy ra: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\)
Bài 2.34: Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng:
a) 2sinA = sinB + sinC
b) \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\)
a) Theo định lý sin ta có: \({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta suy ra: \({a \over {\sin A}} = {{b + c} \over {\sin B + \sin C}} = {{2a} \over {\sin B + \sin C}}\)
\( = > 2sinA = sinB + \sin C\)
b) Đối với tam giác ABC ta có: \(S = {1 \over 2}ab\sin C = {1 \over 2}{h_C}.c = {{abc} \over {4R}}\)
Ta suy ra \({h_c} = {{ab} \over {2R}}\). Tương tự ta có \({h_b} = {{ac} \over {2R}},{h_a} = {{bc} \over {2R}}\).
Do đó:
\({1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = 2R\left( {{1 \over {ac}} + {1 \over {ab}}} \right) = 2R{{b + c} \over {abc}}\) mà b + c = 2a
Nên \({1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = {{2R.2a} \over {abc}} = {{2R.2} \over {bc}} = {2 \over {{h_a}}}\)
Vậy \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 2.35: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:
a) \(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\)
b) \({h_a} = 2R\sin B\sin C\)
a) Theo định lý sin ta có: \({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\)
Do đó: \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\)
Thay các giá trị này vào biểu thức: \(a = b\cos C + c\cos B\), ta có:
\(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\)
\( = > \sin A = \sin B\cos C + {\mathop{\rm sinCcosB}\nolimits} .\)
Bài 2.36: Tam giác ABC có \(bc = {a^2}\). Chứng minh rằng :
a) \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\)
b) \({h_b}.{h_c} = h_a^2\)
a) Theo giả thiết ta có: \({a^2} = bc\)
Thay \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\) vào hệ thức trên ta có:
\(4{R^2}{\sin ^2}A = 2R\sin B.2R{\mathop{\rm sinC}\nolimits} \)
\( = > {\sin ^2}A = \sin B.\sin C\)
b) Ta có \(2S = a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\)
Do đó: \({a^2}h_a^2 = b.c.{h_b}.{h_c}\)
Theo giả thiết: \({a^2} = bc\) nên ta suy ra \(h_a^2 = {h_b}.{h_c}\)
