Bài 3 Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Sách bài tập Toán Hình học 10. Giải bài 2.37, 2.38, 2.39, 2.40 trang 102 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 2.37: Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng…
Bài 2.37: Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng.
(h.2.29)
Xét hình bình hành ABCD có \(AB = a,AD = b,\widehat {BAD} = \alpha \) và BH là đường cao, ta có \(BH \bot AD\) tại H
Gọi S là diện tích hình bình hành ABCD, ta có S = AD. BH với \(BH = AB\sin \alpha \)
Vậy \(S = AD.AB\sin \alpha = a.b.\sin \alpha \)
Nếu \(\widehat {BAD} = \alpha \) thì \(\widehat {ABC} = {180^0} – \alpha \)
Khi đó ta vẫn có \(\sin \widehat {BAD} = \sin \widehat {ABC}\)
Khi đó ta vẫn có
Nhận xét: Diện tích hình bình hành ABCD gấp đôi diện tích tam giác ABD mà tam giác ABD có diện tích là \({1 \over 2}ab\sin \alpha \). Do đó ta suy ra diện tích của hình bình hành bằng \(ab\sin \alpha \)
Bài 2.38: Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, đường chéo BD = y và góc tạo bởi AC và BD là \(\alpha \). Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a) Chứng minh rằng \(S = {1 \over 2}x.y.\sin \alpha \)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Nêu kết quả trong trường hợp AC vuông góc với BD.
(h.2.30)
a) Ta có: \({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{CBD}}\)
Vẽ AH và CK vuông góc với BD.
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: \(AH = AI\sin \alpha \)
\({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AH.BD + {1 \over 2}CK.BD\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = {1 \over 2}BD(AH + CK)\)
\( = {1 \over 2}BD(AI + IC)sin\alpha = {1 \over 2}BD.AC\sin \alpha \)
\({S_{ABCD}} = {1 \over 2}x.y\sin \alpha \)
b) Nếu \(AC \bot BD\) thì \(\sin \alpha = 1\), khi đó \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}x.y\). Như vậy nếu tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.
Bài 2.39: Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng hình bình hành ABC’D. Chứng minh rằng tứ giác ABCD và tam giác ACC’ có diện tích bằng nhau.
(h.2.31)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.
Ta có: \(\widehat {CAC’} = \alpha \) vì \(AC’\parallel BD\)
Theo kết quả bài 2.38 ta có:
\({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD\sin \alpha \)
Mặt khác \({S_{ACC’}} = {1 \over 2}AC.AC’\sin \alpha \)
Mà AC’ = BD nên \({S_{ABCD}} = {S_{ACC’}}\)
Bài 2.40: Cho tứ giác ABC biết \(c = 35cm,\,\,\widehat A = {40^0},\,\,\widehat C = {120^0}\). Tính \(a,b,\widehat B\)
Ta có: \(\eqalign{
& \widehat B = {180^0} – (\widehat A + \widehat C) \cr
& = {180^0} – ({40^0} + {120^0}) = {20^0} \cr} \)
Theo định lí sin ta có:
\(\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {c \over {\sin C}} = \cr
& > a = {{c\sin A} \over {\sin C}} = {{35.\sin {{40}^0}} \over {\sin {{120}^0}}} \approx 26(cm) \cr} \)
\(\eqalign{
& {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}} \cr
& = > b = {{c\sin B} \over {\sin C}} = {{35.\sin {{20}^0}} \over {\sin {{120}^0}}} \approx 14(cm) \cr} \)
