Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ SBT Toán lớp 10. Giải bài 2.9, 2.10, 2.11, 2.12 trang 82 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 2.9: Tính giá trị của biểu thức …
Bài 2.9: Biết \(\tan \alpha = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {{3\sin \alpha – \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }}\)
Do \(\tan \alpha = \sqrt 2 > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha > 0\)
\(\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \)
\(A = {{3\sin \alpha – \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }} = 7 – 4\sqrt 2 \)
Bài 2.10: Biết \(\sin \alpha = {2 \over 3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {{3\cot \alpha – \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }}\)
\({\cot ^2}\alpha = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} – 1 = {1 \over {\left( {{2 \over 3}} \right)_{}^2}} – 1 = {5 \over 4}\)
\(\eqalign{
& B = {{\cot \alpha – \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha – {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr
& = {{\cot _{}^2\alpha – 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} – 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 2.11: Chứng minh rằng với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) ta có:
a) \({(\sin x + \cos x)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)
b) \({(\sin x – \cos x)^2} = 1 – 2\sin x\cos x\)
c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
Advertisements (Quảng cáo)
a)\(\eqalign{
& {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \cr
& = 1 + 2\sin x\cos x \cr} \)
b) \(\eqalign{
& {(\sin x – \cos x)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x – 2\sin x\cos x \cr
& = 1 – 2\sin x\cos x \cr} \)
\(\eqalign{
& c){\sin ^4}x + {\cos ^4}x \cr
& = {({\sin ^2}x)^2} + {({\cos ^2}x)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^2} – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr} \)
Bài 2.12: Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào \(\alpha \)
a) \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha – \cos \alpha )^2}\)
b) \(B = {\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha – 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
a) \(A = {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} + {(\sin \alpha – \cos \alpha )^2}\)
\(= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + 1 – 2\sin \alpha \cos \alpha \)
= 2
b) \(B = {\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha – 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
\( = ({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha – {\cos ^2}\alpha ) – 2{\sin ^2}\alpha + 1\)
\( = 1[{\sin ^2}\alpha (1 – {\sin ^2}\alpha ){\rm{]}} – 2{\sin ^2}\alpha + 1 = 0\)
