Bài 1: Xác định parabol $\(y = a{x^2} + bx + c\) trong mỗi trường hợp sau
a) Parabol nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng \(y = {x \over 2}\) tại các điểm có hoành độ là -1 và \({3 \over 2}\)
b) Parabol đi qua gốc tọa độ và có đỉnh là điểm (1;2).
c) Parabol đi qua hai điểm A(-1; 2), B(2; 3) và có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
a) Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) là hàm số chẵn, do đó
\(f(x) = a{x^2} + bx + c = a{x^2} – bx + c = f( – x),\forall x\)
Suy ra b = 0. Ta còn phải xác định a và c.
Vì parabol cắt đường thẳng \(y = {x \over 2}\) tại các điểm có hoành độ -1 và \({3 \over 2}\) nên nó đi qua các điểm
\(( – 1; – {1 \over 2})\) và \(({3 \over 2};{3 \over 4})\)
Ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
a + c = – {1 \over 2} \hfill \cr
{{9a} \over 4} + c = {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được \(a = 1,c = – {3 \over 2}\)
Parabol phải tìm là \(y = x{}^2 – {3 \over 2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Vì parabol đi qua (0;0) nên y(0) = c = 0.
Do parabol có đỉnh là (1 ; 2) nên
\(\left\{ \matrix{
– {b \over {2a}} = 1 \hfill \cr
– {\Delta \over {4a}} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + b = 0 \hfill \cr
{b^2} + 8a = 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được a = -2, b = 4.
Parabol phải tìm là \(y = – 2{x^2} + 4x\)
c) \(a = – {1 \over 3},b = {2 \over 3},c = 3\)
Bài 2: Tìm các giá trị của k sao cho phương trình
\((k – 1){x^2} + (k + 4)x + k + 7 = 0\)
có các nghiệm bằng nhau.
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình \((k – 1)x_{}^2 + (k + 4)x + k + 7 = 0\) có các nghiệm bằng nhau
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta = (k + 4)_{}^2 – 4(k – 1)(k + 7) = 0 \cr
& \Leftrightarrow – 3k_{}^2 – 16k + 44 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k = 2 \hfill \cr
k = – {{22} \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bài 3: Với những giá trị nào của a, hiệu giữa hai nghiệm của phương trình
\(2{x^2} – (a + 1)x + (a – 1) = 0\)
bằng tích của chúng?
Ta có: \(\Delta = {(a + 1)^2} – 8(a – 1) = {a^2} + 2a + 1 – 8a + 8\)
\({a^2} – 6a + 9 = {(a – 3)^2} \ge 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm
Xét \({({x_1} – {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2} – 4{x_1}{x_2} = x_1^2x_2^2\)
Hay \({\left( {{{a + 1} \over 2}} \right)^2} – 4.{{a – 1} \over 2} = {\left( {{{a – 1} \over 2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow – 4a + 8 = 0 \Leftrightarrow a = 2\)
Đáp số: a = 2
Bài 4: Hãy xác định k để hiệu giữa các nghiệm của phương trình \(5{x^2} – kx + 1 = 0\) bằng 1.
Cần có: \(\Delta = {k^2} – 20 > 0\)
Xét \({x_1} – {x_2} = ({x_1} + {x_2}) – 2{x_2} = 1 = > {k \over 5} – 2{x_2} = 1\)
Suy ra \({x_2} = {{k – 5} \over {10}},{x_2} = 1 + {x_1} = {{k + 5} \over {10}}\)
Do đó
\({x_1}{x_2} = {{k – 5} \over {10}}.{{k + 5} \over {10}} = {1 \over 5} \Leftrightarrow {k^2} = 45\)
Đáp số: \(k = \pm 3\sqrt 5 \)
