Bài 31, 32, 33, 34 trang 196 SBT Toán Đại số 10: Cho 0°< α < 90°. Chứng minh rằng sinα + cosα > 1

Bài 31: Rút gọn các biểu thức (không dùng bảng số và máy tính)

a) \({\sin ^2}({180^0} – \alpha ) + ta{n^2}({180^0} – \alpha ){\tan ^2}({270^0} – \alpha ) + \sin ({90^0} + \alpha )cos(\alpha  – {360^0})\)

b) \({{\cos (\alpha  – {{90}^0})} \over {\sin ({{180}^0} – \alpha )}} + {{\tan (\alpha  – {{180}^0})c{\rm{os(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha )\sin ({{270}^0} + \alpha )} \over {\tan ({{270}^0} + \alpha )}}\)

c) \({{\cos ( – {{288}^0})cot{{72}^0}} \over {tan( – {{162}^0})\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\)

d) \({{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\)

a) \({\sin ^2}({180^0} – \alpha ) + ta{n^2}({180^0} – \alpha ){\tan ^2}({270^0} – \alpha ) + \sin ({90^0} + \alpha )cos(\alpha  – {360^0})\)

= \({\sin ^2}\alpha  + {\tan ^2}\alpha {\cot ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 2\)

b) \({{\cos (\alpha  – {{90}^0})} \over {\sin ({{180}^0} – \alpha )}} + {{\tan (\alpha  – {{180}^0})c{\rm{os(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha )\sin ({{270}^0} + \alpha )} \over {\tan ({{270}^0} + \alpha )}}\)

= \({{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\tan \alpha ( – \cos \alpha )( – \cos \alpha )} \over { – \cot \alpha }} = 1 – {\sin ^2}\alpha  = {\cos ^2}\alpha \)

c) \({{\cos ( – {{288}^0})cot{{72}^0}} \over {tan( – {{162}^0})\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\)

\( = {{\cos ({{72}^0} – {{360}^0})\cot {{72}^0}} \over {\tan ({{18}^0} – {{180}^0})\sin ({{180}^0} – {{72}^0})}} – \tan {18^0}\)

= \({{{\rm{cos7}}{{\rm{2}}^0}\cot {{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}\sin {{72}^0}}} – \tan {18^0}\)

= \({{{{\cot }^2}{{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} – \tan {18^0} = {{{{\tan }^2}{{18}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} – \tan {18^0} = 0\)

d) Ta có: \(\sin {70^0} = \cos {20^0},\sin {50^0} = cos4{{\rm{0}}^0};\sin {40^0} = cos{50^0}\). Vì vậy

\({{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\)

= \(\eqalign{
& {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 2}.\sin {{20}^0}\cos {\rm{2}}{{\rm{0}}^0}\cos {{50}^0}\cos {{40}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}} \cr
& = {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 4}\sin {{40}^0}.cos{{40}^0}} \over {{\rm{cos1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \)

= \({{{{\sqrt 3 } \over {16}}\sin {{80}^0}} \over {cos{{10}^0}}} = {{\sqrt 3 } \over {16}}\)

Bài 32: Cho \({0^0} < \alpha  < {90^0}\).

a) Có giá trị nào của \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha  < \sin \alpha \) hay không?

b) Chứng minh rằng \(\sin \alpha  + \cos \alpha  > 1\)

a) Với \({0^0} < \alpha  < {90^0}\) thì \(0 < \cos \alpha  < 1\) hay \({1 \over {\cos \alpha }} > 1\)

Nhân hai vế với \(\sin \alpha  > 0\) ta được \(tan\alpha  > \sin \alpha \).

Vậy không có giá trị nào của \(\alpha ({0^0} < \alpha  < {90^0})\) để \(tan\alpha  < \sin \alpha \)

b) Ta có \(\sin \alpha  + \cos \alpha  > 0\) và \(\sin \alpha \cos \alpha  > 0\). Do đó

\(\eqalign{
& {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = {\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha \cr
& {\rm{ = 1 + 2}}\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha > 1 \cr} \)

Từ đó suy ra: \(\sin \alpha  + \cos \alpha  > 1\)

Bài 33: Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết

a) \(\cos \alpha  = 2\sin \alpha \) khi \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\)

b) \(\cot \alpha  = 4\tan \alpha \) khi \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \)

a) Với \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) thì \(\cos \alpha  > 0,\sin \alpha  > 0\). Ta có

\(1 – {\sin ^2}\alpha  = {\cos ^2}\alpha \)

Mặt khác \({\cos ^2}\alpha  = {(2\sin \alpha )^2} = 4{\sin ^2}\alpha \) nên \(5{\sin ^2}\alpha  = 1\) hay

\(\eqalign{
& \sin \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }},\cos \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }}, \cr
& \tan \alpha = {1 \over 2},\cot \alpha = 2 \cr} \)

b) Với \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \) thì \(\sin \alpha  > 0,cos\alpha {\rm{ < 0,tan}}\alpha {\rm{ < 0}}\)

Ta có: \(\cot \alpha  = 4\tan \alpha  =  > {1 \over {\tan \alpha }} = 4\tan \alpha \)

\( =  > {\tan ^2}\alpha  = {1 \over 4} =  > \tan \alpha  =  – {1 \over 2},\cot \alpha  =  – 2\)

\(\cos \alpha  =  – {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over 4}} }} =  – {2 \over {\sqrt 5 }},\sin \alpha  = {1 \over {\sqrt 5 }}\)

Bài 34: Chứng minh các đẳng thức

a) \(\tan 3\alpha  – \tan 2\alpha  – \tan \alpha  = \tan \alpha \tan 2\alpha \tan 3\alpha \)

b) \({{4\tan \alpha (1 – {{\tan }^2}\alpha )} \over {{{(1 + {{\tan }^2}\alpha )}^2}}} = \sin 4\alpha \)

c) \({{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \)

d) \({{\cos \alpha \sin (\alpha  – 3) – \sin \alpha \cos (\alpha  – 3)} \over {\cos (3 – {\pi  \over 6}) – {1 \over 2}\sin 3}} =  – {{2\tan 3} \over {\sqrt 3 }}\)

a) \(\tan 3\alpha  – \tan 2\alpha  – \tan \alpha  = \tan (2\alpha  + \alpha ) – \tan (2\alpha  + \alpha )\)

= \({{\tan 2\alpha  + \tan \alpha } \over {1 – \tan 2\alpha \tan \alpha }} – (\tan 2\alpha  + tan\alpha )\)

= \((\tan 2\alpha  + tan\alpha )({1 \over {1 – \tan 2\alpha \tan \alpha }} – 1)\)

= \(\eqalign{
& {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 – \tan 2\alpha \tan \alpha }}(1 – 1 + \tan 2\alpha \tan \alpha ) \cr
& = \tan 3\alpha \tan 2\alpha \tan \alpha \cr} \)

b) \(\eqalign{
& {{4\tan \alpha (1 – {{\tan }^2}\alpha )} \over {{{(1 + {{\tan }^2}\alpha )}^2}}} = {{2.2\tan \alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}.{{1 – {{\tan }^2}\alpha } \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }} \cr
& = 2sin2\alpha c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ = }}\sin 4\alpha \cr} \)

c) \(\eqalign{
& {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }} = {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{\tan }^2}\alpha + {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}}} \cr
& = {{1 + {{\tan }^4}\alpha } \over {{{{{\tan }^4}\alpha + 1} \over {{{\tan }^2}\alpha }}}} = {\tan ^2}\alpha \cr} \)

d) \(\eqalign{
& {{\cos \alpha \sin (\alpha – 3) – \sin \alpha \cos (\alpha – 3)} \over {\cos (3 – {\pi \over 6}) – {1 \over 2}\sin 3}} \cr
& = {{\sin (\alpha – 3 – \alpha )} \over {\cos 3cos{\pi \over 6} + \sin 3\sin {\pi \over 6} – {1 \over 2}\sin 3}} \cr
& = {{ – \sin 3} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}\cos 3}} = – {{2\tan 3} \over {\sqrt 3 }} \cr} \).