Bài 23: Cho phương trình
\((m + 1){x^2} + (3m – 1)x + 2m – 2 = 0\)
Xác định m để phương trình có hai nghiệm \(x{}_1,{x_2}\) mà \(x{}_1 + {x_2} = 3\)
Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Với $$m \ne – 1$$ ta có: \(\Delta = {(m – 3)^2} \ge 0\), do đó phương trình luôn luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)
Xét \({x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {{1 – 3m} \over {m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m = – {1 \over 3}\)
Lúc đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x = 4.
Bài 24: Giải các phương trình
a) \(\sqrt {5x + 3} = 3x – 7\)
b) \(\sqrt {3{x^2} – 2x – 1} = 3x + 1\)
c) \({{\sqrt {4{x^2} + 7x – 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 \)
d) \(\sqrt {2{x^2} + 3x – 4} = \sqrt {7x + 2} \)
a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge – {3 \over 5}\). Ta có
\(\sqrt {5x + 3} = 3x – 7 = > 5x + 3 = {(3x – 7)^2}\)
\( \Leftrightarrow 9{x^2} – 47x + 46 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}},{x_2} = {{47 – \sqrt {553} } \over {18}}\)
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, tuy nhiên khi thay vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2}\) bị loại.
Đáp số: \({x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}}\)
b) Điều kiện của phương trình là \(3{x^2} – 2x – 1 \ge 0\). Ta có:
\(\sqrt {3{x^2} – 2x – 1} = 3x + 1 = > 3{x^2} – 2x – 1 = {(3x + 1)^2}\)
\( \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 2 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = – {1 \over 3},{x_2} = – 1\)
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, nhưng thử vào phương trình đã cho thì giá trị \({x_2} = – 1\) bị loại.
Đáp số: \(x = – {1 \over 3}\)
c)Điều kiện của phương trình là \(4{x^2} + 7x – 2 \ge 0\) và \(x \ne – 2\). Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\({{\sqrt {4{x^2} + 7x – 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2 = > 4{x^2} + 7x – 2 = 2{(x + 2)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} – x – 10 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm là \({x_1} = {5 \over 2},{x_2} = – 2\)
Chỉ có giá trị \({x_1} = {5 \over 2},{x_2} = – 2\)
Chỉ có giá trị \({x_1} = {5 \over 2}\) thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Đáp số: \(x = {5 \over 2}\)
d)Điều kiện của phương trình là \(2{x^2} + 3x – 4 \ge 0\) và \(7x + 2 \ge 0\). Ta có:
\(\sqrt {2{x^2} + 3x – 4} = \sqrt {7x + 2} = > 2{x^2} + 3x – 4 = 7x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x – 6 = 0\)
Phương trình cuối có hai nghiệm \({x_1} = 3,{x_2} = – 1\), nhưng giá trị \({x_2} = – 1\) không thỏa mãn điều kiện của phương tình nên bị loại, giá trị \({x_1} = 3\) nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đa cho là x = 3.
Bài 25: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.
a) \(|2x – 5m| = 2x – 3m\)
b) \(|3x + 4m| = |4x – 7m|\)
c) $\((m + 1){x^2} + (2m – 3)x + m + 2 = 0\)
d) \({{{x^2} – (m + 1)x – {{21} \over 4}} \over {x – 3}} = 2x + m\)
a) Với \(x \ge {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành
\(2x – 5m = 2x – 3m \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy với m = 0 thì mọi \(x \ge 0\) đều là nghiệm của phương trình.
Với \(x < {{5m} \over 2}\) phương trình đã cho trở thành
\( – 2x + 5m = 2x – 3m\)
\( \Leftrightarrow 4x = 8m \Leftrightarrow x = 2m\)
Vì $\(x < {{5m} \over 2}\) nên \(2m < {{5m} \over 2} \Leftrightarrow m > 0\).
Kết luận:
Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.
Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.
Với m < 0 phương trình vô nghiệm.
b) Ta có:
\(\eqalign{
& |3x + 4m| = |4x – 7m| \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
3x + 4m = 4x – 7m \hfill \cr
3x + 4m = – 4x + 7m \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 11m \hfill \cr
x = {{3m} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và $\(x = {{3m} \over 7}\) với mọi giá trị của m.
c) Với m = -1 phương trình đã cho trở thành
\( – 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 5}$\)
Với \(m \ne – 1\) phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức \(\Delta = – 24m + 1.\)
Nếu \(m \le {1 \over {24}}\) thì \(\Delta \ge 0\) phương trình có hai nghiệm
\({x_{1,2}} = {{2m – 3 \pm \sqrt {1 – 24m} } \over {2(m + 1)}}\)
Kết luận:
Với \(x > {1 \over {24}}\) phương trình vô nghiệm.
Với \(x \le {1 \over {24}}\) và \(m \ne – 1\) phương trình có hai nghiệm.
\({x_{1,2}} = {{2m – 3 \pm \sqrt {1 – 24m} } \over {2(m + 1)}}\)
Với m = -1 phương trình có nghiệm là \(x = {1 \over 5}\)
d) Điều kiện của phương trình là: \(x \ne 3.\) Ta có:
\({{{x^2} – (m + 1)x – {{21} \over 4}} \over {x – 3}} = 2x + m = > {x^2} – (m + 1)x – {{21} \over 4} = (x – 3)(2x + m)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + (2m – 5)x + {{21} \over 4} – 3m = 0\)
Phương trình cuối luôn có nghiệm \({x_1} = {3 \over 2},{x_2} = {{7 – 4m} \over 2}\)
Ta có: \({{7 – 4m} \over 2} \ne 3 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4}\)
Kết luận
Với \(m \ne {1 \over 4}\) phương trình đã cho có hai nghiệm và \(x = {3 \over 2}\) và \(x = {{7 – 4m} \over 2}\)
Với \(m = {1 \over 4}\) phương trình có một nghiệm \(x = {3 \over 2}\)
Bài 26: Giải phương trình
\(\root 3 \of {{1 \over 2} + x} + \sqrt {{1 \over 2} – x} = 1\)
Đặt \(u = \root 3 \of {{1 \over 2} + x} ,v = \sqrt {{1 \over 2} – x} \) điều kiện \(v \ge 0\)
Ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr
{u^3} + {v^2} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
v = 1 – u(1) \hfill \cr
{u^3} + {v^2} – 2u = 0(2) \hfill \cr} \right.\)
(2) \( \Leftrightarrow u({u^2} + u – 2) = 0\)
Phương trình cuối có 3 nghiệm \({u_1} = 0,{u_2} = 1,{u_3} = 2\)
+Với u = 0 ta có v = 1 => \(x = – {1 \over 2}\)
+Với u =1 ta có v = 0 => \(x = {1 \over 2}\)
+Với u = -2 ta có v = 3 => \(x = – {{17} \over 2}\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm
\(x = – {1 \over 2}\), \(x = {1 \over 2}\) và \(x = – {{17} \over 2}\)
