Câu 65: Chứng minh rằng :
a. Giá trị của biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1
b. Giá trị của biểu thức \({x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} – 3x}} – {x \over {{x^2} – 9}}} \right)\) bằng 1 khi \(x \ne 0,x \ne – 3,x \ne 3,x \ne – {3 \over 2}\)
a. \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)
Biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\) xác định khi \(x \ne 0\)
Biểu thức \({{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)\) xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)
hay xác định khi \(x \ne 0\) và \(x \ne – 1\)
Vậy với điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne 1\)
Ta có : \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)
\(\eqalign{ & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}.{{1 + x} \over x}} \right] \cr & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left( {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over x}} \right) = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2}}} \cr & = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}} = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 \cr} \)
b. Biểu thức : \({x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} – 3x}} – {x \over {{x^2} – 9}}} \right)\) xác định khi \(x – 3 \ne 0,2x + 3 \ne 0,{x^2} – 3x \ne 0\) và \({x^2} – 9 \ne 0\)
hay \(x \ne 3;x \ne – {3 \over 2};x \ne 0;x \ne 3\) và \(x \ne \pm 3\)
Vậy điều kiện \(x \ne 0,x \ne 3,x \ne – 3\) và \(x \ne – {3 \over 2}\)
Ta có: \({x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} – 3x}} – {x \over {{x^2} – 9}}} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & = {x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left[ {{{x + 3} \over {x\left( {x – 3} \right)}} – {x \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}}} \right] \cr & = {x \over {x – 3}} – {{x\left( {x + 3} \right)} \over {2x + 3}}.{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} – {x^2}} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} \cr & = {x \over {x – 3}} – {{{x^2} + 6x + 9 – {x^2}} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {x – 3} \right)}} = {x \over {x – 3}} – {{3\left( {2x + 3} \right)} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {2x – 3} \right)}} \cr & = {x \over {x – 3}} – {3 \over {x – 3}} = {{x – 3} \over {x – 3}} = 1 \cr} \)
Câu 66: Chú ý rằng nếu c > 0 thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a – b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức
\({{x + 2} \over {x – 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) – {{8x + 7} \over {2{x^2} – 2}}\) luôn luôn có giá trị dương;
b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :
\({{1 – {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} – 1} \right) + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm.
a. \({{x + 2} \over {x – 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) – {{8x + 7} \over {2{x^2} – 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne – 1\)
\(\eqalign{ & = {{x + 2} \over {x – 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} – {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} – 1} \right)}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} – {{8x + 7} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 – 8x – 7} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – 2x – 3} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^4} – {x^2} + 2{x^3} – 2x + 3{x^2} – 3} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^2}\left( {{x^2} – 1} \right) + 2x\left( {{x^2} – 1} \right) + 3\left( {{x^2} – 1} \right)} \over {2\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} – 1} \right)}} \cr & = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2} \cr} \)
Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của x.
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne – 1\) và \(x \ne 1\)
b. \({{1 – {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} – 1} \right) + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne – 3\)
\(\eqalign{ & = {{1 – {x^2}} \over x}.{{{x^2} – \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {1 – {x^2}} \right)\left( {{x^2} – x – 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} + {{3{x^2} – 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{{x^2} – x – 3 – {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} – 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ – {x^4} + {x^3} + 7{x^2} – 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{x\left( { – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} \over {x + 3}} = {{ – {x^3} – 3{x^2} + 4{x^2} + 12x – 5x – 15} \over {x + 3}} \cr & = {{ – {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) – 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( { – {x^2} + 4x – 5} \right)} \over {x – 3}} \cr & = – {x^2} + 4x – 5 = – \left( {{x^2} – 4x + 5} \right) \cr} \)
Vì \({x^2} – 4x + 5 = {x^2} – 4x + 4 + 1 = {\left( {x – 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của x
nên \( – \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của x.
Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\)và \(x \ne – 3\)
Câu 67: Chú ý rằng vì \({\left( {x + a} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} = 0\) khi \(x = – a\) nên \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b\) với mọi giá trị của x và \({\left( {x + a} \right)^2} + b = b\) khi\(x = – a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x + a} \right)^2} + b\) bằng b khi\(x = – a\). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
\({{{x^2}} \over {x – 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} – 4} \right) + 3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
\({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 – {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) – {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
a. \({{{x^2}} \over {x – 2}}.\left( {{{{x^2} + 4} \over x} – 4} \right) + 3\) (điều kiện \(x \ne 2\) và \(x \ne 0\) )
\(\eqalign{ & = {{{x^2}} \over {x – 2}}.{{{x^2} + 4 – 4x} \over x} + 3 = {{{x^2}} \over {x – 2}}.{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \over x} + 3 \cr & = x\left( {x – 2} \right) + 3 = {x^2} – 2x + 1 + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 2 \cr} \)
Ta có: \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi giá trị của x
nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi \(x = 1\)
\(x = 1\) thỏa mãn điều kiện
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại \(x = 1\)
b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.\left( {1 – {{{x^2}} \over {x + 2}}} \right) – {{{x^2} + 6x + 4} \over x}\) (điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne – 2\))
\(\eqalign{ & = {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over x}.{{x + 2 – {x^2}} \over {x + 2}} – {{{x^2} + 6x + 4} \over x} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 – {x^2}} \right)} \over x} – {{{x^2} + 6x + 4} \over x} \cr & = {{{x^2} + 2x – {x^3} + 2x + 4 – 2{x^2} – {x^2} – 6x – 4} \over x} = {{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x} \over x} \cr & = {{ – x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \over x} = – \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) = – \left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 1} \right] \cr & = – \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] = – {\left( {x + 1} \right)^2} – 1 \cr & {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow – {\left( {x + 1} \right)^2} – 1 \le – 1 \cr} \)
nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = – 1
x = – 1 thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = – 1
