Câu 18: Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.
Gọi I là trung điểm của AB
Suy ra: \(IO = IA = {1 \over 2}OA = {3 \over 2}\)
Ta có: BC ⊥OA (gt)
Suy ra: \(\widehat {OIB} = 90^\circ \)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OIB ta có: \(O{B^2} = B{I^2} + I{O^2}\)
suy ra: \(B{I^2} = O{B^2} – I{O^2}\)
\(={3^2} – {\left( {{3 \over 2}} \right)^2} = 9 – {9 \over 4} = {{27} \over 4}\)
\(BI ={{3\sqrt 3 } \over 2}\) (cm)
Ta có: BI = CI (đường kính dây cung)
Suy ra: \(BC = 2BI=2.{{3\sqrt 3 } \over 2} = 3\sqrt 3 \) (cm)
Câu 19: Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.
a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA.
c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
a) Ta có:
OB = OC = R (vì B, C nằm trên (O ; R))
Advertisements (Quảng cáo)
DB = DC = R ( vì B, C nằm trên (D ; R))
Suy ra : OB = OC = DB = DC.
Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.
b) Ta có: OB = OD = BD = R
∆OBD đều \( \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \)
Vì OBDC là hình thoi nên:
\(\widehat {CBD} = \widehat {OBC} = {1 \over 2}\widehat {OBD} = 30^\circ \)
Tam giác ABD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên:
\(\widehat {ABD} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {OBD} + \widehat {OBA} = 90^\circ \)
Nên \(\widehat {OBA} = \widehat {ABD} – \widehat {OBD} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \)
c) Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD ⊥ BC hay AD ⊥ BC
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: AB = AC ( tính chất đường trung trực)
Suy ra tam giác ABC cân tại A (1)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {OBC} – \widehat {OBA} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \). (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.
Câu 20: a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN.
b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho
AM = BN. Qua M và qua N, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.
a) Ta có: CM ⊥CD
DN⊥CD
Suy ra: CM // DN
Kẻ OI ⊥CD
Suy ra: OI // CM // DN
Ta có: IC = ID (đường kính dây cung)
Suy ra: OM = ON (1)
Mà: AM + OM = ON + BM( = R) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = BN.
b) Ta có: MC // ND (gt)
Suy ra tứ giác MCDN là hình thang
Lại có: OM + AM = ON + BN (= R)
Mà AM = BN (gt)
Suy ra: OM = ON
Kẻ OI ⊥ CD (3)
Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN
Suy ra: OI // MC // ND (4)
Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.
