Câu 15: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng
a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn;
b) HK < BC.
a) Gọi M là trung điểm của BC
Tam giác BCH vuông tại H có HM là đường
trung tuyến nên:
\(HM = {1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)
Tam giác BCK vuông tại K có KM là đường
trung tuyến nên:
\(KM = {1 \over 2}BC\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: MB = MC = MH = MK.
Vậy bốn điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \({1 \over 2}BC\).
b) Trong đường tròn tâm M ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH < BC.
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 16: Tứ giác ABCD có \(\widehat B = \widehat D = 90^\circ \).
a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?
a) Gọi M là trung điểm của AC.
Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:
\(BM = {1 \over 2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
Advertisements (Quảng cáo)
\(DM = {1 \over 2}AC\) (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: MA = MB = MC = MD.
Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng \({1 \over 2}AC\).
b) BD là dây của đường tròn (I), còn AC là đường kính nên AC ≥ BD
AC = BD khi và chỉ khi BD cũng là đường kính, khi đó ABCD là hình chữ nhật
Câu 17: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh rằng IE = KF.
Ta có: AI ⊥ EF (gt)
BK ⊥ EF (gt)
Suy ra: AI // BK
Suy ra tứ giác ABKI là hình thang
Kẻ OH ⊥ EF
Suy ra: OH // AI // BK
Ta có: OA = OB (= R)
Suy ra: HI = HK
Hay: HE + EI = HF+FK (1)
Lại có: HE = HF (đường kính dây cung) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IE = KF.
