Bài 64, 65, 66, 67 trang 167 SBT Toán 9 tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD

Câu 64: Cho hình 76, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau.

Ta có:      O, A, O’ thẳng hàng

                 C, A, B thẳng hàng

Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) (đối đỉnh)        (1)

Tam giác AOB cân tại O

Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)                        (2)

Tam giác AO’C cân tại O’

Suy ra: \(\widehat {O’AC} = \widehat {O’CA}\)                      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {OBA} = \widehat {O’CA}\)

Suy ra OB // O’C (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Lại có: Bx ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: Bx ⊥O’C

Mà:     Cy ⊥ O’C ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: Bx // Cy.

Câu 65: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B như trên hình 77.

Biết OA = 15cm, O’A = 13cm, AB = 24cm.

Tính độ dài OO’.

Gọi H là giao điểm của AB và OO’.

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên:

        OO’ ⊥ AB tại H.

Suy ra: \(HA = HB = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}.24 = 12\) (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông

AOH, ta có:     AO² = OH² + AH²

Suy ra:             OH² = OA² – AH² = 15² – 12² = 81

                         OH = 9 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AO’H, ta có:

                 AO’² = O’H² + AH²

Suy ra:     O’H² = O’A² – AH² = 13² – 12² = 25

                 O’H = 5 (cm)

Vậy OO’ =  OH + O’H = 9 + 5 = 14 (cm).

Câu 66: Cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc nhau tại A như trên hình 78. Chứng minh rằng các bán kính OB và O’C song song với nhau.

Ta có:    OA = OB (= R)

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Hay        \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)          (1)

Ta có:     O’A = O’C ( = R’ )

Suy ra tam giác AO’C cân tại O’

Hay       \(\widehat {O’AC} = \widehat {O’CA}\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {OBA} = \widehat {O’CA}\)

Suy ra: OB // O’C ( vì có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).

Câu 67: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD.

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn

(O) có AC là đường kính nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \)

Ta có:

\(\widehat {CBD} = \widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

Vậy ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB ⊥ CD.