Câu 48: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằngOA ⊥ MN.
b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm.
a) Ta có: AM = AN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tam giác AMN cân tại A
Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN (tính chất tam giác cân)
Vậy OA ⊥ MN.
b) Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O)
có NC là đường kính nên \(\widehat {CMN} = 90^\circ \)
suy ra: MN ⊥ MC
Mà OA ⊥ MN (chứng minh trên)
Suy ra: OA // MC
c) Ta có: AN ⊥ NC (tính chất tiếp tuyến)
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AON ta có:
\(A{O^2} = A{N^2} + O{N^2}\)
Suy ra: \(A{N^2} = A{O^2} – O{N^2} = {5^2} – {3^2} = 16\)
AN = 4 (cm)
Suy ra: AM = AN = 4 (cm)
Gọi H là giao điểm của AO và MN
Ta có: \(MH = NH = {{MN} \over 2}\) (tính chất tam giác cân)
Tam giác AON vuông tại N có NH ⊥ AO. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(OA.NH = AN.ON \Rightarrow NH = {{AN.ON} \over {AO}} = {{4.3} \over 5} = 2,4 (cm) \)
Advertisements (Quảng cáo)
MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm).
Câu 49: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt MD và ME theo thứ tự ở P và Q. Biết MD = 4cm, tính chu vi tam giác MPQ.
Ta có: MD = ME (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
PD = PI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
QI = QE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Chu vi tam giác APQ bằng:
MP + PQ + QM
= MP + PI + IQ + QM
= MP + PD + QM + QE
= MD + ME
= 2.MD
= 2.4 = 8 (cm)
Câu 50: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia Ox. Dựng đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy.
Advertisements (Quảng cáo)
* Phân tích
Giả sử đường tròn (I) dựng được thỏa mãnđiều kiện bài toán.
− Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox và Oy nên điểm I nằm trên tia phân giác của
góc xOy.
− Đường tròn (I) tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường vuông góc với
Ox kẻ từ A.
Vậy I là giao điểm của tia phân giác góc xOy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A.
* Cách dựng
− Dựng tia phân giác của góc xOy.
− Dựng đường thẳng vuông góc với Ox tại A cắt tia phân giác của góc xOy tại I.
− Dựng đường tròn (I; IA).
* Chứng minh
Ta có: Ox ⊥ IA tại A nên Ox là tiếp tuyến của (I)
I nằm trên tia phân giác của xOy nên I cách đều hai cạnh Ox, Oy. Khi đó khoảng cách từ I đến Oy bằng IA nên Oy cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I).
Vậy đường tròn (I) đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy.
* Biện luận
Vì góc xOy nhỏ hơn 180° nên góc tạo bởi một cạnh của góc với tia phân giác là góc nhọn. Khi đó đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia phân giác của góc xOy.
Câu 51: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax,By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.
a) Tính số đo góc MON.
b) Chứng minh rằng MN = AM + BN.
c) Chứng minh rằng AM.BN = R2 (R là bán kính của nửa đường tròn).
a) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối OI.
Ta có: \(\widehat {AOI} + \widehat {BOI} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
OM là tia phân giác cảu góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
ON là tia phân giác của góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: OM ⊥ ON (tính chất hai góc kề bù)
Vậy \(\widehat {MON} = 90^\circ \)
b) Ta có: MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà: MN = MI + IN
Suy ra: MN = AM + BN
c) Tam giác OMN vuông tại O có OI ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(O{I^2} = MI.NI\)
Mà: MI = MA, NI = NB (chứng minh trên)
Suy ra: \(AM.BN = O{I^2} = {R^2}\).
