Câu 19: Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.
a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA.
c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.
a) Ta có:
OB = OC = R (vì B, C nằm trên (O ; R))
DB = DC = R ( vì B, C nằm trên (D ; R))
Suy ra : OB = OC = DB = DC.
Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.
b) Ta có: OB = OD = BD = R
∆OBD đều \( \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \)
Vì OBDC là hình thoi nên:
\(\widehat {CBD} = \widehat {OBC} = {1 \over 2}\widehat {OBD} = 30^\circ \)
Tam giác ABD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên:
\(\widehat {ABD} = 90^\circ \)
Mà \(\widehat {OBD} + \widehat {OBA} = 90^\circ \)
Nên \(\widehat {OBA} = \widehat {ABD} – \widehat {OBD} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ \)
c) Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD ⊥ BC hay AD ⊥ BC
Ta có: AB = AC ( tính chất đường trung trực)
Suy ra tam giác ABC cân tại A (1)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {OBC} – \widehat {OBA} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \). (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.
Câu 20:
a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho
AM = BN. Qua M và qua N, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.
a) Ta có: CM ⊥CD
DN⊥CD
Suy ra: CM // DN
Kẻ OI ⊥CD
Suy ra: OI // CM // DN
Ta có: IC = ID (đường kính dây cung)
Suy ra: OM = ON (1)
Mà: AM + OM = ON + BM( = R) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM = BN.
b) Ta có: MC // ND (gt)
Suy ra tứ giác MCDN là hình thang
Lại có: OM + AM = ON + BN (= R)
Advertisements (Quảng cáo)
Mà AM = BN (gt)
Suy ra: OM = ON
Kẻ OI ⊥ CD (3)
Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)
Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN
Suy ra: OI // MC // ND (4)
Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.
Câu 21*: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.
Kẻ OM ⊥ CD cắt AD tại N.
Ta có: MC = MD ( đường kính dây cung)
Hay MH + CH = MK + KD (1)
Ta có: OM // BK (cùng vuông góc với CD)
Hay: MN // BK
Mà: OA = OB (= R)
Suy ra: NA = NK (tính chất đường trung bình của tam giác)
Lại có: OM // AH ( cùng vuông góc với CD)
Hay: MN // AH
Mà: NA = NK (chứng minh trên)
Suy ra: MH = MK ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CH = DK.
Câu 22: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn.
a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm.
b) Tính độ dài AB ở câu a) biết rằng R = 5cm; Om = 1,4cm.
a) * Cách dựng
− Dựng đoạn OM.
− Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt O tại A và B.
Nối A và B ta được dây cần dựng.
* Chứng minh
Ta có: OM ⊥ AB ⟹MA = MB.
b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OMB, ta có:
\(O{B^2} = O{M^2} + M{B^2}\)
Suy ra: \(M{B^2} = O{B^2} – O{M^2} = {5^2} – 1,{4^2} = 25 – 1,96 = 23,04\)
MB = 4,8 (cm)
Vậy AB = 2.MB = 2.4,8 = 9,6 (cm).
