Câu 42: Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau
a) 3 và 5;
b) -4 và 7;
c) -5 và \({1 \over 3}\);
d) 1,9 và 5,1;
e) 4 và \(1 – \sqrt 2 \);
f) \(3 – \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \)
a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 3} \right)\left( {x – 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 5x – 3x + 15 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 8x + 15 = 0 \cr} \)
b) Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x + 4} \right)\left( {x – 7} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 4x – 28 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 28 = 0 \cr} \)
c) Hai số -5 và \({1 \over 3}\) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x + 5} \right)\left( {x – {1 \over 3}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {1 \over 3}x + 5x – {5 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 14x – 5 = 0 \cr} \)
d) Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \left( {x – 1,9} \right)\left( {x – 5,1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 5,1x – 1,9x + 9,69 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 9,69 = 0 \cr} \)
e) Hai số 4 và \(1 – \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 4} \right)\left[ {x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {x – 1 + \sqrt 2 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – x + \sqrt 2 x – 4x + 4 – 4\sqrt 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {5 – \sqrt 2 } \right)x + 4 – 4\sqrt 2 = 0 \cr} \)
f) Hai số \(3 – \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( {3 – \sqrt 5 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {3 + \sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {3 + \sqrt 5 } \right)x – \left( {3 – \sqrt 5 } \right)x + \left( {3 – \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 4 = 0 \cr} \)
Câu 43: Cho phương trình \({x^2} + px – 5 = 0\) có nghiệm là x1, x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau
a) –x1 và –x2
b) \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình: \({x^2} + px – 5 = 0\) có hai nghiệm x1 và x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – {p \over 1} = – p \cr
& {x_1}{x_2} = {{ – 5} \over 1} = – 5 \cr} \) (1)
a) Hai số -x1 và –x2 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( { – {x_1}} \right)} \right]\left[ {x – \left( { – {x_2}} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( { – {x_2}x} \right) – \left( { – {x_1}x} \right) + \left( { – {x_1}} \right)\left( { – {x_2}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} = 0(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: \({x^2} – px – 5 = 0\)
b) Hai số \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – {1 \over {{x_1}}}} \right)\left( {x – {1 \over {{x_2}}}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {1 \over {{x_2}}}x – {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right)x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) \cr} \)
Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:
\(\eqalign{
& {x^2} – {{ – p} \over { – 5}}x + {1 \over { – 5}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – {p \over 5}x – {1 \over 5} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{x^2} – px – 1 = 0 \cr} \)
Câu 44: Cho phương trình \({x^2} – 6x + m = 0.\) Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.
Phương trình \({x^2} – 6x + m = 0\) có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = – {{ – 6} \over 1} = 6\)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} \cr
{{x_1} – {x_2} = 4} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2{x_1} = 10} \cr
{{x_1} – {x_2} = 4} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x_1} = 5} \cr
{5 – {x_2} = 4} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x_1} = 5} \cr
{{x_2} = 1} \cr} } \right.} \right.} \right.} \right.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {m \over 1} = m \Rightarrow m = 5.1 = 5\)
Vậy m = 5 thì phương trình \({x^2} – 6x + m = 0\) có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1} – {x_2} = 4\)
