Câu 38: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình
a) \({x^2} – 6x + 8 = 0\)
b) \({x^2} – 12x + 32 = 0\)
c) \({x^2} + 6x + 8 = 0\)
d) \({x^2} – 3x – 10 = 0\)
e) \({x^2} + 3x – 10 = 0\)
a)
\(\eqalign{
& {x^2} – 6x + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} \cr
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = 4} \right.\)
b)
\(\eqalign{
& {x_2} – 12x + 32 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 6} \right)^2} – 1.32 = 36 – 32 = 4 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 12} \cr
{{x_1}{x_2} = 32} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 4;{x_2} = 8} \right.\)
c)
\(\eqalign{
& {x^2} + 6x + 8 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {3^2} – 1.8 = 9 – 8 = 1 > 0 \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = – 6} \cr
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = – 2} \right.;{x_2} = – 4\)
d)
\({x^2} – 3x – 10 = 0;a = 1;c = – 10 \Leftrightarrow ac < 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 3} \cr
{{x_1}{x_2} = – 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = – 2} \right.;{x_2} = 5\)
e) \({x^2} + 3x – 10 = 0;a = 1;c = – 10;ac < 0\)
Phương trình có hai nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = – 3} \cr
{{x_1}{x_2} = – 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = – 5} \right.\)
Câu 39:
a) Chứng tỏ rằng phương trình \(3{x^2} + 2x – 21 = 0\) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia
Advertisements (Quảng cáo)
b) Chứng tỏ rằng phương trình \( – 4{x^2} – 3x + 115 = 0\) có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia
a) Thay x = -3 vào vế trái của phương trình ta có:
\(3{\left( { – 3} \right)^2} + 2\left( { – 3} \right) – 21 = 27 – 6 – 21 = 0\)
Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 2x – 21 = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1}{x_2} = {{ – 21} \over 3} \Rightarrow – 3.{x_2} = {{ – 21} \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = {7 \over 3}\)
b) Thay x = 5 vào vế trái của phương trình ta có:
\( – {4.5^2} – 3.5 + 115 = – 100 – 15 + 115 = 0\)
Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình \( – 4{x^2} – 3x + 115 = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1}{x_2} = {{115} \over { – 4}} \Rightarrow 5{x_2} = – {{115} \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = – {{23} \over 4}\)
Câu 40: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:
a) Phương trình \({x^2} + mx – 35 = 0\), biết nghiệm x1 = 7
b) Phương trình \({x^2} – 13x + m = 0,\) biết nghiệm x1 = 12,5
c) Phương trình \(4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm x1 = -2
d) Phương trình \(3{x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 5 = 0,\) biết nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\)
a) Phương trình \({x^2} + mx – 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = – 35 \Rightarrow 7{x_2} = – 35 \Leftrightarrow {x_2} = – 5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = – m \cr
& \Rightarrow – m = 7 + \left( { – 5} \right) \Leftrightarrow – m = 2 \Leftrightarrow m = – 2 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy m = -2 thì phương trình \({x^2} + mx – 35 = 0\) có nghiệm x1 = 7 và nghiệm x2 = -5
b) Phương trình \({x^2} – 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\)
Vậy với m = 6,25 thì phương trình \({x^2} – 13x + m = 0\) có nghiệm x1 = 12,5 và có nghiệm x2 = 0,5
c) Phương trình \(4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = – {3 \over 4} \Rightarrow – 2 + {x_2} = – {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{ – {m^2} + 3m} \over 4}\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ – {m^2} + 3m} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} – 3m – 10 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.1.\left( { – 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \cr
& {m_2} = {{3 – 7} \over {2.1}} = – 2 \cr} \)
Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình \(4{x^2} + 3x – {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x1 = -2 và nghiệm \({x_2} = {5 \over 4}\)
d) Phương trình \(3{x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 5 = 0\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\({x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m – 3} \right)} \over 3}\)
\( \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m – 3} \right)} \over 3} \Leftrightarrow 2\left( {m – 3} \right) = 16 \Leftrightarrow m – 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\)
Vậy m = 11 thì phương trình \(3{x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) và nghiệm \({x_2} = 5\).
Câu 41: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau
a) u + v = 14; uv = 40
b) \(u + v = – 7;uv = 12\)
c) \(u + v = – 5;uv = – 24\)
d) \(u + v = 4,uv = 19\)
e) \(u – v = 10,uv = 24\)
f) \({u^2} + {v^2} = 85,uv = 18\)
a) Hai số u và v có u + v = 14, uv = 40 nên nó là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& {x^2} – 14x + 40 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 7} \right)^2} – 1.40 = 49 – 40 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 9 = 3 \cr} \)
\({x_1} = {{7 + 3} \over 1} = 10;{x_2} = {{7 – 3} \over 1} = 4\)
Vậy hai số: u = 10; v = 4 hoặc u = 4; v = 10
b) Hai số u và v có u + v = -7 và uv = 12 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 7x + 12 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {7^2} – 4.1.12 = 49 – 48 = 1 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{ – 7 + 1} \over {2.1}} = – 3 \cr
& {x_2} = {{ – 7 – 1} \over {2.1}} = – 4 \cr} \)
Vậy hai số: u = -3; v = -4 hoặc u = -4; v = -3.
c) Hai số u và v có u + u = -5, uv = -24 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x – 24 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {5^2} – 4.1.\left( { – 24} \right) = 25 + 96 = 121 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \cr
& {x_1} = {{ – 5 + 11} \over {2.1}} = 3 \cr
& {x_2} = {{ – 5 – 11} \over {2.1}} = – 8 \cr} \)
Vậy hai số u = 3; v = -8 hoặc u = -8; v = 3
d) Hai số u và v có u + v = 4, uv = 19 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} – 4x + 19 = 0\)
\(\Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.19 = 4 – 19 = – 15 < 0\)
Phương trình vô nghiệm, không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán
e) Hai số u và v có u – v = 10 và uv = 24 suy ra: u + (-v) = 10 và u(-v) = -24 nên hai số u và –v là nghiệm của phương trình \({x^2} – 10x – 24 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – 5} \right)^2} – 1.\left( { – 24} \right) = 25 + 24 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{5 + 7} \over 1} = 12 \cr
& {x_2} = {{5 – 7} \over 1} = – 2 \cr} \)
Hai số: u = 12; -v = -2 ⇒ v = 2 hoặc u = -2; v = -12 ⇒ v = -12
Vậy: u = 12; v = 2 hoặc u = -2; v = -12
f) Hai số u và v có \({u^2} + {v^2} = 85\) và uv = 18 suy ra: \({u^2}{v^2} = 324\) nên hai số \({u^2}\) và \({v^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} – 85x + 324 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 85} \right)^2} – 4.1.324 = 7225 – 1296 = 5929 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {5929} = 77 \cr
& {x_1} = {{85 + 77} \over {2.1}} = 81 \cr
& {x_2} = {{85 – 77} \over {2.1}} = 4 \cr} \)
Hai số: \({u^2} = 81;{v^2} = 4\) hoặc \({u^2} = 4;{v^2} = 81\)
⇒ u = ± 9; v = ± 2 hoặc u = ± 2; v = ± 9
Vì uv = 18 nên u và v cùng dấu ta có:
Nếu u = 9 thì v = 2 hoặc u = -9 thì v = -2
Nếu u = 2 thì v = 9 hoặc nếu u = -2 thì v = -9
