Bài 45: Xác định số b dương để tích phân \(\int\limits_0^b {\left( {x – {x^2}} \right)dx} \) có giá trị lớn nhất.
Ta có \(\int\limits_0^b {\left( {x – {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {{{{x^2}} \over 2} – {{{x^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^b = {{{b^2}} \over 2} – {{{b^3}} \over 3}\)
Xét hàm số \(I\left( b \right) = {{{b^2}} \over 2} – {{{b^3}} \over 3}\) với \(b>0\)
ta có
\(\eqalign{
& I’\left( b \right) = b – {b^2} \cr
& I’\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow b = 0;b = 1 \cr} \)
Bảng biến thiên
\( I(b)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \({1\over 6}\) khi \(b=1\)
Bài 46: Cho biết \(\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx} = – 1,\int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx = 5,\int\limits_7^9 {g\left( x \right)} dx = 4.\)
Hãy tìm:
a) \(\int\limits_1^9 { – 2f\left( x \right)} dx;\) \(b)\,\int\limits_7^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx;\)
\(c)\,\int\limits_7^9 {\left[ {2f\left( x \right) – 3g\left( x \right)} \right]dx;} \) \(d)\,\int\limits_1^7 {f\left( x \right)} dx;\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(\int\limits_1^9 { – 2f\left( x \right)} dx = – 2\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx = – 2\left( { – 1} \right)} = 2\)
b) \(\int\limits_7^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_7^9 {g\left( x \right)} dx\)
\(= 5 + 4 = 9\)
c) \(\int\limits_7^9 {\left[ {2f\left( x \right) – 3g\left( x \right)} \right]dx = } 2\int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx – 3\int\limits_7^9 {g\left( x \right)} dx \)
\(= 2.5 – 3.4 = – 2\)
Advertisements (Quảng cáo)
d) \(\int\limits_1^7 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_9^7 {f\left( x \right)} dx\)
\(= \int\limits_1^9 {f\left( x \right)} dx – \int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx = – 1 – 5 = – 6\)
Bài 47: Cho hàm số f liên tục trên \(\left[ {a;b} \right].\) Tỉ số : \({1 \over {b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\) được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\) và được kí hiệu là \(m\left( f \right)\). Chứng minh rằng tồn tại điểm \(c \in \left[ {a;b} \right]\) sao cho \(m\left( f \right) = f\left( c \right)\)
Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên \(\left[ {a;b} \right]\).
Ta có \(m \le f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\)
Theo kết quả
\(f(x)>g(x)\) trên đoạn \([a;b]\) thì \(\int\limits_a^b {f(x)} dx > \int\limits_a^b {g(x)dx} \)
Ta có:
\(\eqalign{
& \int\limits_a^b {mdx \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \le \int\limits_a^b {Mdx}\cr& \Rightarrow m\left( {b – a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le M\left( {b – a} \right)} \cr
& \Rightarrow m \le {1 \over {b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \le M \cr} \)
Vì \(f\) là hàm liên tục nên tồn tại \(c \in \left[ {a;b} \right]\) để \(f\left( c \right) = {1 \over {b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.\)
Bài 48: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi \(t=0\) (s) chuyển động thẳng với vận tốc \(v\left( t \right) = t\left( {5 – t} \right)\,\,\,\left( {m/s} \right)\). Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.
Ta có
\(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 5 \hfill \cr} \right.\)
Vật dừng lại tại thời điểm \(t=5\). Quãng đường vật đi được là
\(S = \int\limits_0^5 {t\left( {5 – t} \right)} dt = \left. {\left( {{{5{t^2}} \over 2} – {{{t^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^5 = {{125} \over 6}\,\,\,\left( m \right)\)
