Bài 88: Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng:
\({\log _{b + c}}a + {\log _{c – b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c – b}}a.\)
Ta có: \({\log _{b + c}}a + {\log _{c – b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c + b}}a.\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_a}\left( {b + c} \right)}} + {1 \over {{{\log }_a}\left( {c – b} \right)}} \cr&\;\;\;= {2 \over {{{\log }_a}\left( {b + c} \right).{{\log }_a}\left( {c – b} \right)}} \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left( {c – b} \right) + {\log _a}\left( {b + c} \right) = 2 \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left( {c – b} \right)\left( {b + c} \right) = 2 \cr
& \Leftrightarrow {c^2} – {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} \cr} \)
Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) từ đó suy ra đpcm.
Bài 89: Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln {1 \over {1 + x}}\) thỏa mãn hệ thức \(xy’ + 1 = {e^y}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Điều kiện: \(x > -1\). Ta có \(y = – \ln \left( {1 + x} \right) \Rightarrow y’ = – {1 \over {1 + x}}\)
Khi đó: \(xy’ + 1 = {{ – x} \over {1 + x}} + 1 = {1 \over {1 + x}} = {e^{\ln {1 \over {1 + x}}}} = {e^y}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(xy’ + 1 = {e^y}\)
Bài 90: Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}} \over {\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).
\(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\)
Tọa độ điểm \(A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)\).
Vậy \(OA = {1 \over {\ln 2}}\)
Ta có \(y’ = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \Rightarrow y’\left( 0 \right) = {1 \over 2}\)
Phương trình tiếp tuyến tại A là: \(y – {1 \over {\ln 2}} = {1 \over 2}x \Rightarrow y = {1 \over 2}x + {1 \over {\ln 2}}\)
Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành \(B\left( { – {2 \over {\ln 2}};0} \right)\) suy ra \(OB = {2 \over {\ln 2}}\)
Vậy \({S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB = {1 \over 2}.{1 \over {\ln 2}}.{2 \over {\ln 2}} = {1 \over {{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\)
Bài 91: Kí hiệu M là một điểm thuộc đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x\). Trong hai khẳng định \(a > 1\) và \(0 < a < 1\), khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?
a) M có tọa độ (0,5; -7); b) M có tọa độ (0,5; 7);
c) M có tọa độ (3; 5,2); d) M có tọa độ (3; -5,2).
Gọi (C) là đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\)
a) \(M \in \left( C \right)\) nên \({\log _a}0,5 = – 7 \Leftrightarrow {1 \over 2} = {a^{ – 7}} \Leftrightarrow {a^7} = 2 \Leftrightarrow a = \root 7 \of 2 \)
Vậy a > 1
b) \(M\left( {0,5;7} \right) \in \left( C \right)\) nên \({\log _a}0,5 = 7 \Leftrightarrow {1 \over 2} = {a^7} \Leftrightarrow {a^7} = {1 \over 2} \Leftrightarrow a = \root 7 \of {{1 \over 2}} \)
Vậy \(0 < a < 1\)
c) \(M\left( {3;5,2} \right) \in \left( C \right)\) nên \({\log _a}3 = 5,2 \Leftrightarrow {a^{5,2}} = 3 \Leftrightarrow a = {3^{{1 \over {5,2}}}} > 1\)
Vậy a > 1
d) \(M\left( {3; – 5,2} \right) \in \left( C \right)\) nên \({\log _a}3 = – 5,2 \Leftrightarrow {a^{ – 5,2}} = 3 \Leftrightarrow {a^{5,2}} = {1 \over 3} \Leftrightarrow a = {1 \over {{3^{5,2}}}}\)
Vậy \(0 < a < 1\)
