Câu 106: Cho biểu thức
\(A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}.\)
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a.
a) Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi :
\(\left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
\sqrt a – \sqrt b \ne 0 \hfill \cr
\sqrt {ab} \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr
ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr
b \ge 0 \hfill \cr
a \ne b \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) thì A có nghĩa.
b) Ta có :
\(\eqalign{
& A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} – 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} – 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{\sqrt {{a^2}b} + \sqrt {a{b^2}} } \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{\sqrt {{a^2}} – 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \over {\sqrt a – \sqrt b }} – {{\sqrt {ab} (\sqrt a + \sqrt b )} \over {\sqrt {ab} }} \cr
& = {{{{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {\sqrt a – \sqrt b }} – \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr
& = \sqrt a – \sqrt b – \sqrt a – \sqrt b = – 2\sqrt b \cr}\)
Vậy giá trị của A không phu thuộc vào a.
Câu 107: Cho biểu thức
Advertisements (Quảng cáo)
\(B = \left( {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^3}} – 1}} – {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} – \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) .
a) Rút gọn B ;
b) Tìm x để B = 3.
a) Ta có:
\(\eqalign{
& B = \left( {{{2x + 1} \over {{{\sqrt x }^3} – 1}} – {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} – \sqrt x } \right) \cr
& = \left[ {{{2x + 1} \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} – {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right]\left[ {{{\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 – \sqrt x + \sqrt {{x^2}} } \right)} \over {1 + \sqrt x }} – \sqrt x } \right] \cr
& = {{2x + 1 – \sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {1 – \sqrt x + \sqrt {{x^2}} – \sqrt x } \right) \cr
& = {{2x + 1 – x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.{\left( {\sqrt x – 1} \right)^2} \cr
& = {{\left( {x + \sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} \cr} \)
\( = \sqrt x – 1\) (với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\)
b) Với B = 3 ta có: \(\sqrt x – 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 108: Cho biểu thức
\(C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 – x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x – 3\sqrt x }} – {1 \over {\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1.
a) Ta có:
\(\eqalign{
& C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 – x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x – 3\sqrt x }} – {1 \over {\sqrt x }}} \right) \cr
& = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}} \right]:\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}} – {1 \over {\sqrt x }}} \right] \cr
& = {{\sqrt x \left( {3 – \sqrt x } \right) + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}:{{3\sqrt x + 1 – \left( {\sqrt x – 3} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}} \cr
& = {{3\sqrt x – x + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}:{{2\sqrt x + 4} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)}} \cr
& = {{3\sqrt x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}.{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 3} \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr
& = {{3\left( {\sqrt x + 3} \right)} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 – \sqrt x } \right)}}.{{ – \sqrt x \left( {3 – \sqrt x } \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr} \)
\(= {{ – 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}}\) (với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)
b) Với \(C < – 1\) ta có:
\({{ – 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < – 1 \Leftrightarrow {{ – 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} + 1 < 0\)
\(\Leftrightarrow {{ – 3\sqrt x + 2\sqrt x + 4} \over {2\sqrt x + 4}} < 0 \Leftrightarrow {{4 – \sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < 0\)
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x > 0\)
Khi đó: \(2\sqrt x + 4 > 0\)
Suy ra: \(4 – \sqrt x < 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 4 \Leftrightarrow x > 16\)
Vậy với \(x > 16\) thì C < -1.
