Câu 80: Rút gọn các biểu thức
a) \((2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2 – 5)^2}\);
b) \(2\sqrt {3a} – \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) với \(a \ge 0\)
a) \((2 – \sqrt 2 )( – 5\sqrt 2 ) – {(3\sqrt 2 – 5)^2}\)
\( = – 10\sqrt 2 + 5\sqrt {{2^2}} – (18 – 30\sqrt 2 + 25)\)
\( = – 10\sqrt 2 + 10 – 18 + 30\sqrt 2 – 25 = 20\sqrt 2 – 33\)
b) \(2\sqrt {3a} – \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} – {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \)
\( = 2\sqrt {3a} – \sqrt {25.3a} + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}} – {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} \)
\( = 2\sqrt {3a} – 5\sqrt {3a} + {3 \over 2}\sqrt {3a} – 4a\sqrt {3a} \) (với a>0)
Câu 81: Rút gọn các biểu thức:
a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt a – \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}\)
với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
b) \({{a – b} \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
a) Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\({{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt a – \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)}}\)
\( = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a – 2\sqrt {ab} + b} \over {a – b}}\)
\( = {{2(a + b)} \over {a – b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))
b) Ta có: \({{a – b} \over {\sqrt a – \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} – \sqrt {{b^3}} } } \over {a – b}}\)
\( = {{(a – b)(\sqrt a + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} – {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} – {{a\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}}\)
\( = {{a\sqrt a + a\sqrt b – b\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}} – {{a\sqrt a – b\sqrt b } \over {a – b}}\)
\( = {{a\sqrt a + a\sqrt b – b\sqrt a – b\sqrt b – a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a – b}}\)
\( = {{a\sqrt b – b\sqrt a } \over {a – b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))
Câu 82: a) Chứng minh
Advertisements (Quảng cáo)
\({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1\). Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?
a) Ta có:
\({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\)
\(\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
\({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
Vì \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\)
Giá trị biểu thức \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \({1 \over 4}\) khi \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\)
Suy ra: \(x = – {{\sqrt 3 } \over 2}.\)
Câu 83: Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ
a) \({2 \over {\sqrt 7 – 5}} – {2 \over {\sqrt 7 + 5}}\);
b) \(\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 – 5}} + {{\sqrt 7 – 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.\)
a) Rút gọn biểu thức ta được \({{ – 10} \over {9}}$\) là số hữu tỉ.
b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ.
