Câu 4.1: Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được
a) \(4{x^2} – 9 = 0\)
b) \(5{x^2} + 20 = 0\)
c) \(2{x^2} – 2 + \sqrt 3 = 0\)
d) \(3{x^2} – 12 + \sqrt {145} = 0\)
a)
\(\eqalign{
& 4{x^2} – 9 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2} \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {3 \over 2};{x_2} = – {3 \over 2}\)
\(\eqalign{
& \Delta = {0^2} – 4.4.\left( { – 9} \right) = 144 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12 \cr
& {x_1} = {{0 + 12} \over {2.4}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2} \cr
& {x_2} = {{0 – 12} \over {2.4}} = {{ – 12} \over 8} = – {3 \over 2} \cr} \)
b) \(5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} = – 20\)
Vế trái \(5{x^2} \ge 0\); vế phải -20 < 0
Không có giá trị nào của x để \(5{x^2} = – 20\)
Phương trình vô nghiệm.
\(\Delta = {0^2} – 4.5.20 = – 400 < 0.\) Phương trình vô nghiệm.
c)
\(\eqalign{
& 2{x^2} – 2 + \sqrt 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 – \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} = {{2 – \sqrt 3 } \over 2} \cr
& \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 – \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 – 2\sqrt 3 } \over 4}} \cr
& = {{\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } } \over 2} = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} } \over 2} = {{\sqrt 3 – 1} \over 2} \cr} \)
Phương trình có hai nghiệm:
\({x_1} = {{\sqrt 3 – 1} \over 2};{x_2} = – {{\sqrt 3 – 1} \over 2} = {{1 – \sqrt 3 } \over 2}\)
\(\eqalign{
& \Delta = {0^2} – 4.2\left( { – 2 + \sqrt 3 } \right) = 16 – 8\sqrt 3 \cr
& = 4\left( {4 – 2\sqrt 3 } \right) = 4{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} = 2\left( {\sqrt 3 – 1} \right) \cr
& {x_1} = {{0 + 2\left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 – 2} \over 2} \cr
& {x_2} = {{0 – 2\left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \over {2.2}} = {{ – \left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \over 2} = {{1 – \sqrt 3 } \over 2} \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& 3{x^2} – 12 + \sqrt {145} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 – \sqrt {145} \cr
& \Leftrightarrow {x^2} = {{12 – \sqrt {145} } \over 3} \cr} \)
Vì \(12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144} < \sqrt {145} \Rightarrow {{12 – \sqrt {145} } \over 3} < 0\)
Phương trình vô nghiệm.
\(\Delta = {0^2} – 4.3\left( { – 12 + \sqrt {145} } \right) = – 12\left( {\sqrt {145} – 12} \right)\)
Vì \(\sqrt {145} – 12 > 0 \Rightarrow – 12\left( {\sqrt {145} – 12} \right) < 0\)
\( \Rightarrow \Delta < 0.\) Phương trình vô nghiệm.
Câu 4.2: Giải các phương trình sau bằng hai cách (phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(5{x^2} – 3x = 0\)
b) \(3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\)
c) \(2{x^2} + 7x = 0\)
d) \(2{x^2} – \sqrt 2 x = 0\)
a)
\(\eqalign{
& 5{x^2} – 3x = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {5x – 3} \right) = 0 \cr} \)
⇔ x = 0 hoặc 5x – 3 =0
⇔ x = 0 hoặc \(x = {3 \over 5}.\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {3 \over 5}\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.5.0 = 9 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3 \cr
& {x_1} = {{3 + 3} \over {2.5}} = {6 \over {10}} = {3 \over 5} \cr
& {x_2} = {{3 – 3} \over {2.5}} = {0 \over {10}} = 0 \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x\left( {\sqrt 5 x + 2} \right) = 0 \cr} \)
⇔ x = 0 hoặc \(\sqrt 5 x + 2 = 0\)
⇔ x = 0 hoặc \(x = – {{2\sqrt 5 } \over 5}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = – {{2\sqrt 5 } \over 5}\)
\(\eqalign{
& \Delta = {6^2} – 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr
& {x_1} = {{ – 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr
& {x_2} = {{ – 6 – 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ – 12} \over {6\sqrt 5 }} = – {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \)
c)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& 2{x^2} + 7x = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {2x + 7} \right) = 0 \cr} \)
⇔ x = 0 hoặc 2x + 7 = 0
⇔ x = 0 hoặc \(x = – {7 \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = – {7 \over 2}\)
\(\eqalign{
& \Delta = {7^2} – 4.2.0 = 49 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{ – 7 + 7} \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr
& {x_2} = {{ – 7 – 7} \over {2.2}} = {{ – 14} \over 4} = – {7 \over 2} \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& 2{x^2} – \sqrt 2 x = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {2x – \sqrt 2 } \right) = 0 \cr} \)
⇔ x = 0 hoặc \(2x – \sqrt 2 = 0\)
⇔ x = 0 hoặc \(x = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – \sqrt 2 } \right)^2} – 4.2.0 = 2 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 2 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over {2.2}} = {{2\sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& {x_2} = {{\sqrt 2 – \sqrt 2 } \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr} \)
Câu 4.3: Giải các phương trình
a) \({x^2} = 14 – 5x\)
b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x – 2\)
c) \({\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 – 2x\)
d) \({{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x – 1} \right)}^2}} \over 5} + {{x\left( {2x – 3} \right)} \over 2}\)
a) \({x^2} = 14 – 5x \Leftrightarrow {x^2} + 5x – 14 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {5^2} – 4.1.\left( { – 14} \right) = 25 + 56 = 81 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \cr
& {x_1} = {{ – 5 + 9} \over {2.1}} = {4 \over 2} = 2 \cr
& {x_2} = {{ – 5 – 9} \over {2.1}} = {{ – 14} \over 2} = – 7 \cr} \)
b)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – x + 1 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 1} \right)^2} – 4.1.1 = 1 – 4 = – 3 < 0 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm
c)
\(\eqalign{
& {\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 – 2x \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x – 3131 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 3127 = 0 \cr
& \Delta = {6^2} – 4.1.\left( { – 3127} \right) = 36 + 12508 = 12544 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {12544} = 112 \cr
& {x_1} = {{ – 6 + 112} \over {2.1}} = {{106} \over 2} = 53 \cr
& {x_2} = {{ – 6 – 112} \over {2.1}} = – 59 \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x – 1} \right)}^2}} \over 5} + {{x\left( {2x – 3} \right)} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 10 = 2{\left( {3x – 1} \right)^2} + 5x\left( {2x – 3} \right) \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} – 12x + 2 + 10{x^2} – 15x \cr
& \Leftrightarrow 26{x^2} – 39x – 26 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x – 2 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { – 3} \right)^2} – 4.2.\left( { – 2} \right) = 9 + 16 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{3 + 5} \over {2.2}} = {8 \over 4} = 2 \cr
& {x_2} = {{3 – 5} \over {2.2}} = – {1 \over 2} \cr} \)
Câu 4.4
Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm thì phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) cũng vô nghiệm.
Phương trình \(a{x^2} – bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm.
\( \Rightarrow a{x^2} + \left( {b – 1} \right)x + c = 0\) vô nghiệm
\(\eqalign{
& \Rightarrow \Delta = {\left( {b – 1} \right)^2} – 4ac < 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {b – 1} \right)^2} < 4ac \cr
& \Leftrightarrow 4ac – {\left( {b – 1} \right)^2} > 0 \cr} \)
Suy ra: \(f\left( x \right) – x = a{x^2} + \left( {b – 1} \right)x + c\)
\(\eqalign{
& = a\left( {{x^2} + {{b – 1} \over a}x + {c \over a}} \right) \cr
& = a\left[ {{x^2} + 2.{{b – 1} \over a}x + {{{{\left( {b – 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} – {{{{\left( {b – 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} + {c \over a}} \right] \cr
& = a\left[ {{{\left( {x + {{b – 1} \over {2a}}} \right)}^2} + {{4ac – {{\left( {b – 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}}} \right] \cr} \)
Vì \({\left( {x + {{b – 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac – {{\left( {b – 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \Rightarrow f\left( x \right) – x\) luôn cùng dấu với a.
Nếu a > 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) – x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > x\) với mọi x.
Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x\) với mọi x.
Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)
Nếu a < 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) – x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x\) với mọi x
Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x\) với mọi x.
Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\)
Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) vô nghiệm.
