Câu 24: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép
a) \(m{x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 2 = 0\)
b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)
a) \(m{x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 2 = 0\)
Phương trình có nghiệm số kép
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ne 0} \cr
{\Delta = 0} \cr} } \right.\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left[ { – 2\left( {m – 1} \right)} \right]^2} – 4.m.2 \cr
& = 4\left( {{m^2} – 2m + 1} \right) – 8m \cr
& = 4\left( {{m^2} – 4m + 1} \right) \cr
& \Delta = 0 \Rightarrow 4\left( {{m^2} – 4m + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m^2} – 4m + 1 = 0 \cr
& \Delta m = {\left( { – 4} \right)^2} – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \cr
& {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \cr
& {m_2} = {{4 – 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 – \sqrt 3 \cr} \)
Vậy với \(m = 2 + \sqrt 3 \) hoặc \(m = 2 – \sqrt 3 \) thì phương trình đã cho có nghiệm số kép.
b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)
Phương trình có nghiệm số kép \( \Leftrightarrow \Delta = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} – 4.3.4 = {m^2} + 2m + 1 – 48 = {m^2} + 2m – 47 \cr
& \Delta = 0 \Rightarrow {m^2} + 2m – 47 = 0 \cr
& \Delta m = {2^2} – 4.1\left( { – 47} \right) = 4 + 188 = 192 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \cr
& {m_1} = {{ – 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 – 1 \cr
& {m_2} = {{ – 2 – 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = – 1 – 4\sqrt 3 \cr} \)
Vậy với \(m = 4\sqrt 3 – 1\) hoặc \(m = – 1 – 4\sqrt 3 \) thì phương trình có nghiệm số kép.
Câu 25: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo m:
a) \(m{x^2} + \left( {2x – 1} \right)x + m + 2 = 0\)
b) \(2{x^2} – \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} – 1 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(m{x^2} + \left( {2m – 1} \right)x + m + 2 = 0\)
Nếu m = 0 ta có phương trình: \( – x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Nếu m ≠ 0 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( {2m – 1} \right)^2} – 4m\left( {m + 2} \right) \cr
& = 4{m^2} – 4m + 1 – 4{m^2} – 8m \cr
& = – 12m + 1 \cr
& \Delta \ge 0 \Rightarrow – 12m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le {1 \over {12}} \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {1 – 12m} \cr
& {x_1} = {{ – \left( {2m – 1} \right) + \sqrt {1 – 12m} } \over {2.m}} = {{1 – 2m + \sqrt {1 – 12m} } \over {2m}} \cr
& {x_2} = {{ – \left( {2m – 1} \right) – \sqrt {1 – 12m} } \over {2.m}} = {{1 – 2m – \sqrt {1 – 12m} } \over {2 + }} \cr} \)
b) \(2{x^2} – \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} – 1 = 0\)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left[ { – \left( {4m + 3} \right)} \right]^2} – 4.2\left( {2{m^2} – 1} \right) \cr
& = 16{m^2} + 24m + 9 – 16{m^2} + 8 \cr
& = 24m + 17 \cr
& \Delta \ge 0 \Rightarrow 24m + 17 \ge 0 \Leftrightarrow m > – {{17} \over {24}} \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {24m + 17} \cr
& {x_1} = {{4m + 3 + \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr
& {x_2} = {{4m + 3 – \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr} \)
Câu 26: Vì sao khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?
Áp dụng. Không tính ∆, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:
a) \(3{x^2} – x – 8 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(2004{x^2} + 2x – 1185\sqrt 5 = 0\)
c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 – \sqrt 3 = 0\)
d) \(2010{x^2} + 5x – {m^2} = 0\)
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)
a và c trái dấu \( \Rightarrow ac < 0\) suy ra \( – ac > 0 \Rightarrow – 4ac > 0\)
\(\Delta = {b^2} – 4ac\) ta có \({b^2} \ge 0\); \( – 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} – 4ac > 0\)
\( \Rightarrow \Delta = {b^2} – 4ac > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
a) \(3{x^2} – x – 8 = 0\)
Có a = 3; c = -8 ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) \(2004{x^2} + 2x – 1185\sqrt 5 = 0\)
Có a = 2004; c = \( – 1185\sqrt 5 \) ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 – \sqrt 3 = 0\)
Có \(a = 3\sqrt 2 > 0;c = \sqrt 2 – \sqrt 3 < 0\) (vì \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \))
⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d) \(2010{x^2} + 5x – {m^2} = 0\)
Nếu m = 0 phương trình có dạng có 2 nghiệm
Nếu \(m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow – {m^2} < 0\)
\(a = 2010 > 0;c = – {m^2} < 0 \Rightarrow ac < 0.\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy với mọi m ∈ R thì phương trình \(2010{x^2} + 5x – {m^2} = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
