Câu 27: Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn
a) \(5{x^2} – 6x – 1 = 0\)
b) \( – 3{x^2} + 14x – 8 = 0\)
c) \(- 7{x^2} + 4x = 3\)
d) \(9{x^2} + 6x + 1 = 0\)
a) \(5{x^2} – 6x – 1 = 0\)
Có hệ số a = 5; b’ = -3; c = -1
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = b{‘^2} – ac = {\left( { – 3} \right)^2} – 5.\left( { – 1} \right) = 9 + 5 = 14 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {14} \cr
& {x_1} = {{ – b’ + \sqrt {\Delta ‘} } \over a} = {{3 + \sqrt {14} } \over 5} \cr
& {x_2} = {{ – b’ – \sqrt {\Delta ‘} } \over a} = {{3 – \sqrt {14} } \over 5} \cr} \)
b) \( – 3{x^2} + 14x – 8 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 14x + 8 = 0\)
Có hệ số a = 3; b’ = -7; c = 8
\(\eqalign{
& \Delta ‘ = {\left( { – 7} \right)^2} – 3.8 = 49 – 23 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {x_1} = {{7 + 5} \over 3} = 4 \cr
& {x_2} = {{7 – 5} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \)
c) \( – 7{x^2} + 4x = 3 \Leftrightarrow 7{x^2} – 4x + 3 = 0\)
Có hệ số a = 7; b’ = -2; c = 3
\(\Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 7.3 = 4 – 21 = – 17 < 0\)
Phương trình vô nghiệm
d) \(9{x^2} + 6x + 1 = 0\)
Có hệ số a = 9; b’ = 3; c = 1
\(\Delta ‘ = {3^2} – 9.1 = 9 – 9 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = {{ – b} \over a} = {{ – 3} \over 9} = – {1 \over 3}\)
Câu 28: Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau
a) \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\)
b) \(\sqrt 3 {x^2} + 2x – 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\)
c) \( – 2\sqrt 2 x – 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\)
d) \({x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)
e) \(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 \) và \( – {x^2} – 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1\)?
a)
\(\eqalign{
& {x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left[ { – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} – 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 2 – 2\sqrt 2 = 1 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{1 + \sqrt 2 – 1} \over 1} = \sqrt 2 \cr} \)
Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức bằng nhau.
Advertisements (Quảng cáo)
b)
\(\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2x – 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 – 2\sqrt 3 } \right)x – 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 – \sqrt 3 } \right)x – 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^2} – \sqrt 3 \left( { – 4} \right) \cr
& = 1 – 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \cr
& {x_1} = {{\sqrt 3 – 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr
& {x_2} = {{\sqrt 3 – 1 – 1 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ – 2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
Vậy với x = 2 hoặc \(x = {{ – 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức đó bằng nhau.
c)
\(\eqalign{
& – 2\sqrt 2 x – 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} – \sqrt 2 .4 \cr
& = 1 + 2\sqrt 2 + 2 – 4\sqrt 2 \cr
& = 1 – 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 – 1 \cr
& {x_1} = {{ – 1 – \sqrt 2 + \sqrt 2 – 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2} \over {\sqrt 2 }} = – \sqrt 2 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt 2 – \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ – 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = – 2 \cr} \)
Vậy với \(x = – \sqrt 2 \) hoặc \(x = – 2\) thì hai biểu thức bằng nhau.
d)
\(\eqalign{
& {x^2} – 2\sqrt 3 x – \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} – 1.2\sqrt 3 \cr
& = 1 + 2\sqrt 3 + 3 – 2\sqrt 3 = 4 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 4 = 2 \cr
& {x_1} = {{ – 1 – \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 – \sqrt 3 \cr
& {x_2} = {{ – 1 – \sqrt 3 – 2} \over 1} = – 3 – \sqrt 3 \cr} \)
Vậy với \(x = 1 – \sqrt 3 \) hoặc \(x = – 3 – \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau.
e)
\(\eqalign{
& \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x – 3\sqrt 3 = – {x^2} – 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2} – \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 – 1} \right) \cr
& = 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \cr
& = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \cr
& = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr
& = {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \cr
& {x_1} = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \cr
& {x_2} = {{ – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) – 1 – 2\sqrt 3 – \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{ – 1 – 3\sqrt 3 – 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \cr
& = 4 – \sqrt 3 – \sqrt 5 – \sqrt {15} \cr} \)
Câu 29: Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5). Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức:
\(h = – {\left( {x – 1} \right)^2} + 4\)
Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu
a) Khi vận động viên ở độ cao 3m?
b) Khi vận động viên chạm mặt nước?
a) Khi h = 3m ta có:
\(\eqalign{
& 3 = – {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 – 1 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x – 2} \right) = 0 \cr} \)
Suy ra: \({x_1} = 0;{x_2} = 2.\) Vậy x = 0m hoặc x = 2m
b) Khi vận động viên chạm mặt nước ta có h = 0
\(\eqalign{
& \Rightarrow – {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = 0 \cr
& \Delta ‘ = {\left( { – 1} \right)^2} – 1.\left( { – 3} \right) = 1 + 3 = 4 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta ‘} = \sqrt 4 = 2 \cr
& {x_1} = {{1 + 2} \over 1} = 3 \cr
& {x_2} = {{1 – 2} \over 1} = – 1 \cr} \)
Vì khoảng cách không âm. Vậy x = 3m
