Câu 76: Trục căn thức ở mẫu
a) \({1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1}}\)
b)\({1 \over {\sqrt 5 – \sqrt 3 + 2}}\)
a) \(\eqalign{
& {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1}} = {1 \over {\sqrt 3 + (\sqrt 2 + 1)}} \cr
& = {{\sqrt 3 – (\sqrt 2 + 1)} \over {\left[ {\sqrt 3 + (\sqrt 2 + 1)} \right]\left[ {\sqrt 3 – (\sqrt 2 + 1)} \right]}} \cr} \)
\( = {{\sqrt 3 – \sqrt 2 – 1} \over {3 – {{(\sqrt 2 + 1)}^2}}} = {{\sqrt 3 – \sqrt 2 – 1} \over {3 – (2 + 2\sqrt 2 + 1)}} = {{\sqrt 3 – \sqrt 2 – 1} \over { – 2\sqrt 2 }}\)
\( = {{ – \sqrt 2 (\sqrt 3 – \sqrt 2 – 1)} \over {2{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{ – \sqrt 6 + 2 + \sqrt 2 } \over 4}\)
b) \({1 \over {\sqrt 5 – \sqrt 3 + 2}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 – 2)} \over {\left[ {\sqrt 5 – (\sqrt 3 – 2)} \right]\left[ {\sqrt 5 + (\sqrt 3 – 2)} \right]}}\)
\( = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 – 2)} \over {5 – {{(\sqrt 3 – 2)}^2}}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 – 2)} \over {5 – (3 – 4\sqrt 3 + 4)}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 – 2)} \over {4\sqrt 3 – 2}}\)
\(= {{\sqrt 5 + \sqrt 3 – 2} \over {2(2\sqrt 3 – 1)}} = {{(\sqrt 5 + \sqrt 3 – 2)(2\sqrt 3 + 1)} \over {2\left[ {(2\sqrt 3 – 1)(2\sqrt 3 + 1)} \right]}}\)
\(\eqalign{
& = {{2\sqrt {15} + \sqrt 5 + 6 + \sqrt 3 – 4\sqrt 3 – 2} \over {2(12 – 1)}} \cr
& = {{2\sqrt {15} + \sqrt 5 + 4 – 3\sqrt 3 } \over {22}} \cr} \)
Câu 77: Tìm x, biết
a) \(\sqrt {2x + 3} = 1 + \sqrt 2 \)
b) \(\sqrt {10 + \sqrt {3x} } = 2 + \sqrt 6 \)
c) \(\sqrt {3x – 2} = 2 – \sqrt 3 \)
d) \(\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 – 3\)
a)
\(\eqalign{
& \sqrt {2x + 3} = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2x + 3 = {(1 + \sqrt 2 )^2} \cr
& \Leftrightarrow 2x + 3 = 1 + 2\sqrt 2 + 2 \cr} \)
b) \(\sqrt {10 + \sqrt {3x} } = 2 + \sqrt 6 \)
\( \Leftrightarrow 10 + \sqrt {3x} = {(2 + \sqrt 6 )^2}\)
\( \Leftrightarrow 10 + \sqrt {3x} = 4 + 4\sqrt 6 + 6 \Leftrightarrow \sqrt {3x} = 4\sqrt 6 \)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow x = {{4\sqrt 6 } \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = 4\sqrt 2 \)
c)
\(\eqalign{
& \sqrt {3x – 2} = 2 – \sqrt 3 \Leftrightarrow 3x – 2 = {(2 – \sqrt 3 )^2} \cr
& \Leftrightarrow 3x – 2 = 4 – 4\sqrt 3 + 3 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 3x = 9 – 4\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {{9 – 4\sqrt 3 } \over 3}\)
d) \(\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 – 3\)
Ta có:
\(\sqrt 5 \) < \(\sqrt 9 \) \( \Leftrightarrow \sqrt 5 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 5 – 3 < 0\)
Không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 – 3\)
Câu 78: Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số:
a) \(\sqrt {x – 2} \ge \sqrt 3 \)
b) \(\sqrt {3 – 2x} \le \sqrt 5 \)
a) Điều kiện: \(x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)
Ta có: \(\sqrt {x – 2} \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow x – 2 \ge \Leftrightarrow x \ge 5\)
Advertisements (Quảng cáo)
Giá trị \(x \ge 5\) thỏa mãn điều kiện.
Điều kiện: \(3 – 2x \ge 0 \Leftrightarrow 3 \ge 2x \Leftrightarrow x \le 1,5\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {3 – 2x} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow 3 – 2x \le 5 \cr
& \Leftrightarrow – 2x \le 2 \Leftrightarrow x \ge – 1 \cr} \)
Kết hợp với điều kiện ta có: \( – 1 \le x \le 1,5\)
Câu 79: Cho các số x và y có dạng: \(x = {a_1}\sqrt 2 + {b_1}\) và \(x = {a_2}\sqrt 2 + {b_2}\), trong đó \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ. Chứng minh:
a) x + y và x,y cũng có dạng \(a\sqrt 2 + b\) với a và b là số hữu tỉ.
b) \({x \over y}\) với \(y \ne 0\) cũng có dạng \(a\sqrt 2 + b\) với a và b là số hữu tỉ.
a) Ta có:
\(\eqalign{
& x + y = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr
& = ({a_1} + {a_2})\sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) \cr} \)
Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}\) cũng là số hữu tỉ.
Lại có:
\(\eqalign{
& xy = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 + {b_1}{b_2} \cr} \)
\( = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\sqrt 2 + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2})\)
Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}\), \(2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}\) cũng là số hữu tỉ.
b) Ta có:
\(\eqalign{
& {x \over y} = {{{a_1}\sqrt 2 + {b_1}} \over {{a_2}\sqrt 2 + {b_2}}} \cr
& = {{({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 – {b_2})} \over {{{({a_2}\sqrt 2 )}^2} – {b_2}^2}} \cr} \)
\( = {{2{a_1}{a_2} – {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 – {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}}\)
\(= \sqrt 2 {{{a_2}{b_1} – {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}}\)
Vì \(y \ne 0\) nên \({a_2}\) và \({b_2}\) không đồng thời bằng 0
Suy ra: \(2{a_2}^2 – {b_2}^2\) \( \ne 0\)
Nếu \(2{a_2}^2 – {b_2}^2 = 0\) thì \(\sqrt 2 {{{b_2}} \over {{a_2}}}\)
Điều này mâu thuẫn với \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.
Vậy \({{{a_2}{b_1} – {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}}\); \({{2{a_1}{a_2} – {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 – {b_2}^2}}\) đều là số hữu tỉ.
