Câu 72: Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp:
\({1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}\)
Ta có: \({1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}\)
\( = {{\sqrt 2 – \sqrt 1 } \over {(\sqrt 2 + \sqrt 1 )(\sqrt 2 – \sqrt 1 )}} + {{\sqrt 3 – \sqrt 2 } \over {(\sqrt 3 + \sqrt {2)} (\sqrt 3 – \sqrt 2 )}} + {{\sqrt 4 – \sqrt 3 } \over {(\sqrt 4 + \sqrt 3 )(\sqrt 4 – \sqrt 3 )}}\)
\( = {{\sqrt 2 – \sqrt 1 } \over {2 – 1}} + {{\sqrt 3 – \sqrt 2 } \over {3 – 2}} + {{\sqrt 4 – \sqrt 3 } \over {4 – 3}}\)
\( = \sqrt 2 – \sqrt 1 + \sqrt 3 – \sqrt 2 + \sqrt 4 – \sqrt 3 \)
\( = – \sqrt 1 + \sqrt 4 = – 1 + 2 = 1\)
Câu 73: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi).
\(\sqrt {2005} – \sqrt {2004} \) với \(\sqrt {2004} – \sqrt {2003} \)
Ta có:
\({1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} = {{\sqrt {2005} – \sqrt {2004} } \over {(\sqrt {2005} + \sqrt {2004} )(\sqrt {2005} – \sqrt {2004} )}}\)
\( = {{\sqrt {2005} – \sqrt {2004} } \over {2005 – 2004}} = \sqrt {2005} – \sqrt {2004} \,(1)$\)
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\({1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }} = {{\sqrt {2004} – \sqrt {2003} } \over {(\sqrt {2004} + \sqrt {2003} )(\sqrt {2004} – \sqrt {2003} )}}\)
\( = {{\sqrt {2004} – \sqrt {2003} } \over {2004 – 2003}} = \sqrt {2004} – \sqrt {2003} \,(2)\)
Vì \(\sqrt {2005} + \sqrt {2004} \) > \(\sqrt {2004} + \sqrt {2003} \) nên:
\({1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} \le {1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra:
\(\sqrt {2005} – \sqrt {2004} \) < \(\sqrt {2004} – \sqrt {2003} \)
Câu 74: Rút gọn:
\({1 \over {\sqrt 1 – \sqrt 2 }} – {1 \over {\sqrt 2 – \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3 – \sqrt 4 }} – {1 \over {\sqrt 4 – \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5 – \sqrt 6 }} – \)
\(-{1 \over {\sqrt 6 – \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7 – \sqrt 8 }} – {1 \over {\sqrt 8 – \sqrt 9 }}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\({1 \over {\sqrt 1 – \sqrt 2 }} – {1 \over {\sqrt 2 – \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3 – \sqrt 4 }} – {1 \over {\sqrt 4 – \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5 – \sqrt 6 }} -\)
\( – {1 \over {\sqrt 6 – \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7 – \sqrt 8 }} – {1 \over {\sqrt 8 – \sqrt 9 }}\)
\( = {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 1 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}} – {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over {{{(\sqrt 3 )}^2} – {{(\sqrt 4 )}^2}}} – {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over {{{(\sqrt 4 )}^2} – {{(\sqrt 5 )}^2}}} + \)
\(+ {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over {{{(\sqrt 5 )}^2} – {{(\sqrt 6 )}^2}}} – {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over {{{(\sqrt 6 )}^2} – {{(\sqrt 7 )}^2}}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over {{{(\sqrt 7 )}^2} – {{(\sqrt 8 )}^2}}} – {{\sqrt 8 – \sqrt 9 } \over {{{(\sqrt 8 )}^2} – {{(\sqrt 9 )}^2}}}\)
\( = {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over {1 – 2}} – {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over {2 – 3}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over {3 – 4}} – {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over {4 – 5}} + \)
\( + {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over {5 – 6}} – {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over {6 – 7}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over {7 – 8}} – {{\sqrt 8 – \sqrt 9 } \over {8 – 9}}\)
\(= {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over { – 1}} – {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over { – 1}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over { – 1}} – {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over { – 1}} + \)
\( + {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over { – 1}} – {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over { – 1}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over { – 1}} – {{\sqrt 8 – \sqrt 9 } \over { – 1}}\)
\( = {{\sqrt 1 – \sqrt 9 } \over { – 1}}\) \( = {{\sqrt 1 – \sqrt 9 } \over { – 1}}\)
\( = \sqrt 9 – \sqrt 1 = 3 – 1 = 2\)
Câu 75: Rút gọn các biểu thức:
a) \({{x\sqrt x – y\sqrt y } \over {\sqrt x – \sqrt y }}\) với \(x \ge 0,y \ge 0\) và \(x \ne y\)
b) \({{x – \sqrt {3x} + 3} \over {x\sqrt x + 3\sqrt 3 }}\) với \(x \ge 0\)
a) \(\eqalign{
& {{x\sqrt x – y\sqrt y } \over {\sqrt x – \sqrt y }} = {{\sqrt {{x^3}} – \sqrt {{y^3}} } \over {\sqrt x – \sqrt y }} \cr
& = {{(\sqrt x – \sqrt y )(x + \sqrt {xy} + y)} \over {\sqrt x – \sqrt y }} \cr} \)
\( = x + \sqrt {xy} + y\) (với \(x \ge 0,y \ge 0\) và \(x \ne y\))
b) \(\eqalign{
& {{x – \sqrt {3x} + 3} \over {x\sqrt x + 3\sqrt 3 }} = {{x – \sqrt {3x} + 3} \over {\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{3^3}} }} \cr
& = {{x – \sqrt {3x} + 3} \over {(\sqrt x + \sqrt 3 )(x – \sqrt {3x} + 3)}} \cr} \)
\( = {1 \over {\sqrt x + \sqrt 3 }}\)(với \(x \ge 0\))
