Câu 33: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và \(\widehat A = \alpha \) không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Chứng minh thuận: Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong của ∆ABC
\(\widehat {IBC} = {{\widehat B} \over 2};\widehat {ICB} = {{\widehat C} \over 2}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = {{\widehat B + \widehat C} \over 2}\) mà trong ∆ABC ta có: \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ – \widehat A = 180^\circ – \alpha \)
Suy ra: \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = {{180^\circ – \alpha } \over 2}\)
Trong ∆BIC ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ – (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\)
Suy ra: \(\widehat {BIC} = 180^\circ – {{180^\circ – \alpha } \over 2} = {{360^\circ – 180^\circ + \alpha } \over 2} = 90^\circ + {\alpha \over 2}\)
Α không đổi \( \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ + {\alpha \over 2}\) không đổi.
I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn BC cố định một góc bằng 90º + \({\alpha \over 2}\) không đổi
Vậy I nằm trên cung chứa góc 90º + \({\alpha \over 2}\) vẽ trên BC.
Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc 90º + \({\alpha \over 2}\) lấy điểm I’ bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm I’ hai tai Bx và Cy sao cho BI’ là phân giác của \(\widehat {CBx},CI’\) là phân giác của \(\widehat {BCy}\).
Bx cắt Cy tại A¢.
Trong ∆BI¢C ta có: \(\widehat {BI’C} = 90 + {\alpha \over 2}\)
\( \Rightarrow \widehat {I’BC} + \widehat {I’CB} = 180^\circ – \widehat {BI’C} = 180^\circ – \left( {90^\circ + {\alpha \over 2}} \right) = {{180^\circ – \alpha } \over 2}\)
\(\widehat {CBA’} = 2\widehat {I’BC};\widehat {BCA’} = 2\widehat {I’CB}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \widehat {CBA’} + \widehat {BCA’} = 2.{{180^\circ – \alpha } \over 2} = 180^\circ – \alpha \)
Trong ∆A¢BC ta có:
\(\widehat {BA’C} = 180^\circ – (\widehat {CBA’} + \widehat {BCA’}) = 180^\circ – (180^\circ – \alpha ) = \alpha \)
Vậy quỹ tích giao điểm 3 đường phân giác trong ∆ABC khi \(\widehat A = \alpha \) không đổi, BC cố định là 2 cung chứa góc \(90^\circ + {\alpha \over 2}\) vẽ trên BC..
Câu 34: Dựng cung chứa góc 420 trên đoạn thẳng AB = 3 cm.
Cách dựng:
− Dựng đoạn AB = 3 cm
− Dựng \(\widehat {BAx} = 42^\circ \)
Advertisements (Quảng cáo)
− Dựng đường thẳng d là trung trực của AB
− Dựng tia Ay ⊥ Ax tại A
Tia Ay cắt đường trung trực d của AB tại O.
− Dựng cung tròn \(\overparen{AmB}\) tâm O bán kính OA
− Dựng điểm O’ đối xứng với O qua AB.
− Dựng cung tròn \(\overparen{Am’B}\) tâm O¢ bán kính O’A.
Câu 35: Dựng tam giác ABC, biết BC = 3 cm, \(\widehat A = {45^0}\) và trung tuyến AM = 2,5 cm.
Cách dựng
− Dựng đoạn BC = 3cm
− Dựng \(\widehat {CBx} = 45^\circ \)
− Dựng trung điểm M của BC
− Dựng trung trực BC
− Dựng tia vuông góc Bx tại B cắt đường trung trực BC tại O.
− Dựng cung tròn \(\overparen{BmC}\) bán kính OB là cung chứa góc 45º vẽ trên BC.
− Dựng cung tròn tâm M bán kính 2,5 cm cắt cung \(\overparen{BmC}\) tại A và A¢.
− Nối AB, AC (hoặc A’B, A’C) ta có ∆ABC (hoặc ∆A’BC) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vì BC = 3 cm, nên bán kính OB = \({{3\sqrt 2 } \over 2}\) (cm).
Khoảng cách 2 tâm MO = \({{3\sqrt 2 } \over 2}\) (cm)
\({{3\sqrt 2 } \over 2} – 2,5 < MO < {{3\sqrt 2 } \over 2} + 2,5\) nên (O) và (M) luôn cắt nhau. Bài toán luôn dựng được.
