Câu 3.2: Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số
a) \({x^2} – 3x + 1 = 0\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x – 1 = 0\)
c) \(5{x^2} – 7x + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} + 2\sqrt 3 x – 2 = 0\)
a) \({x^2} – 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} – 1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x – {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x – {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x – {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x – {3 \over 2} = – {{\sqrt 5 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt 5 } \over 2}\)
b) \({x^2} + \sqrt 2 x – 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x + {{\sqrt 2 } \over 2} = – {{\sqrt 6 } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{ – \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x = – {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{ – \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} = – {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\)
c)
\(\eqalign{
& 5{x^2} – 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} – {1 \over 5} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x – {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr} \)
\( \Leftrightarrow x – {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x – {7 \over {10}} = – {{\sqrt {29} } \over {10}}\)
\( \Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x = {{7 – \sqrt {29} } \over {10}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 – \sqrt {29} } \over {10}}\)
d)
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 2\sqrt 3 x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x – {2 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\) hoặc \(x + {{\sqrt 3 } \over 3} = – 1\)
\( \Leftrightarrow x = 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\) hoặc \(x = – 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1 – {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} = – 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}\)
Câu 3.3: Tìm b, c để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là những số dưới đây
a) \({x_1} = – 1\) và \({x_2} = 2\)
b) x1 = -5 và x2 = 0
c) \({x_1} = 1 + \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 – \sqrt 2 \)
d) x1 = 3 và \({x_2} = – {1 \over 2}\)
a) Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + x – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \cr} \)
Hệ số: b = -1; c = -2.
b) Hai số – 5 và 0 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x + 5} \right)\left( {x + 0} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 \cr} \)
Hệ số: b = 5; c = 0
c) Hai số \(1 + \sqrt 2 \) và \(1 – \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)x – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 – \sqrt 2 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0 \cr} \)
Hệ số: b = -2; c = -1
d) Hai số 3 và \( – {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 3} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over 2}x – 3x – {3 \over 2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x – 3 = 0 \cr} \)
Hệ số: b = -5; c = -3
Câu 3.4: Tìm a, b, c để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3.
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?
x = -2 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\), ta có:
\(4a – 2b + c = 0\)
x = 3 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) ta có:
\(9a + 3b + c = 0\)
Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a – 2b + c = 0} \cr
{9a + 3b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5a + 5b = 0} \cr
{4a – 2b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – a} \cr
{4a – 2\left( { – a} \right) + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = – a} \cr
{c = – 6a} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy với mọi a ≠ 0 ta có:
\(\left\{ {\matrix{
a \cr
{b = – a} \cr
{c = – 6a} \cr} } \right.\)
thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm x1 = -2; x2 = 3
Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:
\(\eqalign{
& 2{x^2} – 2x – 12 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr} \)
Có nghiệm: \({x_1} = – 2;{x_2} = 3\)
Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.
