Câu 18: Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số
a) \({x^2} – 6x + 5 = 0\)
b) \({x^2} – 3x – 7 = 0\)
c) \(3{x^2} – 12x + 1 = 0\)
d) \(3{x^2} – 6x + 5 = 0\)
a) \({x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.3x + 9 = 4 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} = 4\)
\( \Leftrightarrow \left| {x – 3} \right| = 2\) \( \Leftrightarrow x – 3 = 2\) hoặc \(x – 3 = – 2\)⇔ x = 5 hoặc x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} = 1\)
b)\({x^2} – 3x – 7 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = 7 + {9 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {x – {3 \over 2}} \right)^2} = {{37} \over 4}\)
\( \Leftrightarrow \left| {x – {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x – {3 \over 2} = {{\sqrt {37} } \over 2}\) hoặc \(x – {3 \over 2} = – {{\sqrt {37} } \over 2}\)
\( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt {37} } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 – \sqrt {37} } \over 2}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt {37} } \over 2};{x_2} = {{3 – \sqrt {37} } \over 2}\)
c)
\(\eqalign{
& 3{x^2} – 12x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 4x + {1 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2.2x + 4 = 4 – {1 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = {{11} \over 3} \Leftrightarrow \left| {x – 2} \right| = {{\sqrt {33} } \over 3} \cr} \)
\( \Leftrightarrow x – 2 = {{\sqrt {33} } \over 3}\) hoặc \(x – 2 = – {{\sqrt {33} } \over 3}\)
\( \Leftrightarrow x = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3}\) hoặc \(x = 2 – {{\sqrt {33} } \over 3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3};{x_2} = 2 – {{\sqrt {33} } \over 3}\)
d)
\(\eqalign{
& 3{x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + {5 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 1 – {5 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = – {2 \over 3} \cr} \)
Vế trái \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0\); vế phải \( – {2 \over 3} < 0\)
Vậy không có giá trị nào của x để \({\left( {x – 1} \right)^2} = – {2 \over 3}\)
Phương trình vô nghiệm.
Câu 19: Nhận thấy rằng phương trình tích \(\left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right) = 0,\) hay phương trình bậc hai \({x^2} – x – 6 = 0,\) có hai nghiệm là \({x_1} = – 2,{x_2} = 3\). Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong những cặp số sau
a) \({x_1} = 2,{x_2} = 5\)
b) \({x_1} = – {1 \over 2},{x_2} = 3\)
c) \({x_1} = 0,1;{x_2} = 0,2\)
d) \({x_1} = 1 – \sqrt 2 ,{x_2} = 1 + \sqrt 2 \)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình:
\(\left( {x – 2} \right)\left( {x – 5} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0\)
b) Hai số \( – {1 \over 2}\) và 3 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( { – {1 \over 2}} \right)} \right]\left( {x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + {1 \over 2}} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x – 3 = 0 \cr} \)
c) Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left( {x – 0,1} \right)\left( {x – 0,2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 0,3x + 0,02 = 0 \cr} \)
d) Hai số \(1 – \sqrt 2 \) và \(1 + \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \left[ {x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 – \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0 \cr} \)
Câu 3.1: Đưa các phương trình sau về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) và xác định các hệ số a, b, c
a) \(4{x^2} + 2x = 5x – 7\)
b) \(5x – 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x – 4 + {x^2}\)
c) \(m{x^2} – 3x + 5 = {x^2} – mx\)
d) \(x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2\)
a) \(4{x^2} + 2x = 5x – 7 \Leftrightarrow 4{x^2} – 3x + 7 = 0\) có a = 4, b = -3, c = 7
b)
\(\eqalign{
& 5x – 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x – 4 + {x^2} \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sqrt 5 – 1} \right){x^2} + 2x + 1 = 0 \cr
& a = \sqrt 5 – 1;b = 2;c = 1 \cr} \)
c) \(m{x^2} – 3x + 5 = {x^2} – mx \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right){x^2} – \left( {3 – m} \right)x + 5 = 0\)
\(m – 1 \ne \) nó là phương trình bậc hai có a = m – 1; b = – (3 – m ); c = 5
d)
\(\eqalign{
& x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 1} \right){x^2} + \left( {1 – m} \right)x – 2 = 0 \cr} \)
\({m^2} – 1 \ne 0\) nó là phương trình bậc hai có \(a = {m^2} – 1,b = 1 – m,c = – 2\)
