Câu 38: Giải các phương trình sau:
a. \({{1 – x} \over {x + 1}} + 3 = {{2x + 3} \over {x + 1}}\)
b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x – 3}} – 1 = {{{x^2} + 10} \over {2x – 3}}\)
c. \({{5x – 2} \over {2 – 2x}} + {{2x – 1} \over 2} = 1 – {{{x^2} + x – 3} \over {1 – x}}\)
d. \({{5 – 2x} \over 3} + {{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {3x – 1}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 – 3x} \right)} \over {9x – 3}}\)
a. \({{1 – x} \over {x + 1}} + 3 = {{2x + 3} \over {x + 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne – 1\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{1 – x} \over {x + 1}} + {{3\left( {x + 1} \right)} \over {x + 1}} = {{2x + 3} \over {x + 1}} \cr & \Leftrightarrow 1 – x + 3\left( {x + 1} \right) = 2x + 3 \cr & \Leftrightarrow 1 – x + 3x + 3 – 2x – 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 0x = – 1 \cr} \)
Phương trình vô nghiệm.
b. \({{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x – 3}} – 1 = {{{x^2} + 10} \over {2x – 3}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne {3 \over 2}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {2x – 3}} – {{2x – 3} \over {2x – 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x – 3}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} – \left( {2x – 3} \right) = {x^2} + 10 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 – 2x + 3 – {x^2} – 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x = 3 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = {3 \over 2}\) (loại)
Phương trình vô nghiệm.
c. \({{5x – 2} \over {2 – 2x}} + {{2x – 1} \over 2} = 1 – {{{x^2} + x – 3} \over {1 – x}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 1\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{5x – 2} \over {2\left( {1 – x} \right)}} + {{\left( {2x – 1} \right)\left( {1 – x} \right)} \over {2\left( {1 – x} \right)}} = {{2\left( {1 – x} \right)} \over {2\left( {1 – x} \right)}} – {{2\left( {{x^2} + x – 3} \right)} \over {2\left( {1 – x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 5x – 2 + \left( {2x – 1} \right)\left( {1 – x} \right) = 2\left( {1 – x} \right) – 2\left( {{x^2} + x – 3} \right) \cr & \Leftrightarrow 5x – 2 + 2x – 2{x^2} – 1 + x – 2 + 2x + 2{x^2} + 2x – 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 5x + 2x + x + 2x + 2x = 2 + 6 + 2 + 1 \Leftrightarrow 12x = 11 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = {{11} \over {12}}\) (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{11} \over {12}}\)
d. \({{5 – 2x} \over 3} + {{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {3x – 1}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 – 3x} \right)} \over {9x – 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne {1 \over 3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {5 – 2x} \right)\left( {3x – 1} \right)} \over {3\left( {3x – 1} \right)}} + {{3\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {3\left( {3x – 1} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {1 – 3x} \right)} \over {3\left( {3x – 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {5 – 2x} \right)\left( {3x – 1} \right) + 3\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {1 – 3x} \right) \cr & \Leftrightarrow 15x – 5 – 6{x^2} + 2x + 3{x^2} – 3 = x – 3{x^2} + 2 – 6x \cr & \Leftrightarrow – 6{x^2} + 3{x^2} + 3{x^2} + 15x + 2x – x + 6x = 2 + 5 + 3 \cr & \Leftrightarrow 22x = 10 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = {5 \over {11}}\) (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {5 \over {11}}\)
Câu 39: a. Tìm x sao cho giá trị của biểu thức \({{2{x^2} – 3x – 2} \over {{x^2} – 4}}\) bằng 2
b. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức
\({{6x – 1} \over {3x + 2}}\)và \({{2x + 5} \over {x – 3}}\) bằng nhau.
c. Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức
\({{y + 5} \over {y – 1}} – {{y + 1} \over {y – 3}}\)và \({{ – 8} \over {\left( {y – 1} \right)\left( {y – 3} \right)}}\) bằng nhau
a. Ta có: \({{2{x^2} – 3x – 2} \over {{x^2} – 4}}\) = 2 ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x – 2 = 2\left( {{x^2} – 4} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x – 2 = 2{x^2} – 8 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} – 2{x^2} – 3x = – 8 + 2 \cr} \)
\( \Leftrightarrow – 3x = – 6\)
\( \Leftrightarrow x = 2\) (loại)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện bài toán.
b. Ta có: \({{6x – 1} \over {3x + 2}}\)= \({{2x + 5} \over {x – 3}}\) ĐKXĐ: \(x \ne – {2 \over 3}\)và \(x \ne 3\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {6x – 1} \right)\left( {x – 3} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} = {{\left( {2x + 5} \right)\left( {3x + 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {6x – 1} \right)\left( {x – 3} \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {3x + 2} \right) \cr & \Leftrightarrow 6{x^2} – 18x – x + 3 = 6{x^2} + 4x + 15x + 10 \cr & \Leftrightarrow 6{x^2} – 6{x^2} – 18x – x – 4x – 15x = 10 – 3 \cr & \Leftrightarrow – 38x = 7 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = – {7 \over {38}}\) (thỏa)
Vậy khi \(x = – {7 \over {38}}\) thì giá trị của hai biểu thức \({{6x – 1} \over {3x + 2}}\) và \({{2x + 5} \over {x – 3}}\)
c. Ta có: \({{y + 5} \over {y – 1}} – {{y + 1} \over {y – 3}}\)= \({{ – 8} \over {\left( {y – 1} \right)\left( {y – 3} \right)}}\) ĐKXĐ: \(y \ne 1\)và \(y \ne 3\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {y + 5} \right)\left( {y – 3} \right)} \over {\left( {y – 1} \right)\left( {y – 3} \right)}} – {{\left( {y + 1} \right)\left( {y – 1} \right)} \over {\left( {y – 1} \right)\left( {y – 3} \right)}} = {{ – 8} \over {\left( {y – 1} \right)\left( {y – 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {y + 5} \right)\left( {y – 3} \right) – \left( {y + 1} \right)\left( {y – 1} \right) = – 8 \cr & \Leftrightarrow {y^2} – 3y + 5y – 15 – {y^2} + 1 = – 8 \cr & \Leftrightarrow 2y = 6 \cr} \)
\( \Leftrightarrow y = 3\) (loại)
Vậy không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 40: Giải các phương trình sau:
a. \({{1 – 6x} \over {x – 2}} + {{9x + 4} \over {x + 2}} = {{x\left( {3x – 2} \right) + 1} \over {{x^2} – 4}}\)
b. \(1 + {x \over {3 – x}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)}} + {2 \over {x + 2}}\)
c. \({2 \over {x – 1}} + {{2x + 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {{\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} – 1}}\)
d. \({{{x^3} – {{\left( {x – 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x – 5} \right)}} = {{7x – 1} \over {4x + 3}} – {x \over {x – 5}}\)
a. \({{1 – 6x} \over {x – 2}} + {{9x + 4} \over {x + 2}} = {{x\left( {3x – 2} \right) + 1} \over {{x^2} – 4}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {1 – 6x} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2} – 4}} + {{\left( {9x + 4} \right)\left( {x – 2} \right)} \over {{x^2} – 4}} = {{x\left( {3x – 2} \right) + 1} \over {{x^2} – 4}} \cr & \Leftrightarrow \left( {1 – 6x} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {9x + 4} \right)\left( {x – 2} \right) = x\left( {3x – 2} \right) + 1 \cr & \Leftrightarrow x + 2 – 6{x^2} – 12x + 9{x^2} – 18x + 4x – 8 = 3{x^2} – 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow – 6{x^2} + 9{x^2} – 3{x^2} + x – 12x – 18x + 4x + 2x = 1 – 2 + 8 \cr & \Leftrightarrow – 23x = 7 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = – {7 \over {23}}\) (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = – {7 \over {23}}\)
b. \(1 + {x \over {3 – x}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)}} + {2 \over {x + 2}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 3\)và \(x = – 2\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)}} + {{x\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)}} = {{5x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)}} + {{2\left( {3 – x} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right) + x\left( {x + 2} \right) = 5x + 2\left( {3 – x} \right) \cr & \Leftrightarrow 3x – {x^2} + 6 – 2x + {x^2} + 2x = 5x + 6 – 2x \cr & \Leftrightarrow {x^2} – {x^2} + 3x – 2x + 2x – 5x + 2x = 6 – 6 \cr & \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \)
Phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có nghiệm \(x \in R/x \ne 3\) và \(x \ne – 2\)
c. \({2 \over {x – 1}} + {{2x + 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {{\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} – 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {{x^3} – 1}} + {{\left( {2x + 3} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {{x^3} – 1}} = {{\left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {{x^3} – 1}} \cr & \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {2x + 3} \right)\left( {x – 1} \right) = \left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + 2 + 2{x^2} – 2x + 3x – 3 = 4{x^2} – 1 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{x^2} – 4{x^2} + 2x – 2x + 3x = – 1 – 2 + 3 \cr & \Leftrightarrow 3x = 0 \cr} \)
(thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
d. \({{{x^3} – {{\left( {x – 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x – 5} \right)}} = {{7x – 1} \over {4x + 3}} – {x \over {x – 5}}\) ĐKXĐ: \(x \ne – {3 \over 4}\)và \(x \ne 5\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^3} – {{\left( {x – 1} \right)}^3}} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x – 5} \right)}} = {{\left( {7x – 1} \right)\left( {x – 5} \right)} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x – 5} \right)}} – {{x\left( {4x + 3} \right)} \over {\left( {4x + 3} \right)\left( {x – 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {x^3} – {\left( {x – 1} \right)^3} = \left( {7x – 1} \right)\left( {x – 5} \right) – x\left( {4x + 3} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^3} – {x^3} – 3{x^2} – 3x + 1 = 7{x^2} – 35x – x + 5 – 4{x^2} – 3x \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} – 7{x^2} + 4{x^2} – 3x + 35x + x + 3x = 5 – 1 \cr & \Leftrightarrow 36x = 4 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = {1 \over 9}\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 9}\)
