Câu 32: Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:
a. \({{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{21 – x} \over {x + 1}}\)
b. \({{19x + 8} \over {x – 7}}.{{5x – 9} \over {x + 1945}} – {{19x + 8} \over {x – 7}}.{{4x – 2} \over {x + 1945}}\)
a. \({{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{21 – x} \over {x + 1}}\)\( = {{{x^3}} \over {x + 1975}}.\left( {{{2x + 1954} \over {x + 1}} + {{21 – x} \over {x + 1}}} \right)\)
\( = {{{x^3}} \over {x + 1975}}.{{x + 1975} \over {x + 1}} = {{{x^3}\left( {x + 1975} \right)} \over {\left( {x + 1975} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)
b. \({{19x + 8} \over {x – 7}}.{{5x – 9} \over {x + 1945}} – {{19x + 8} \over {x – 7}}.{{4x – 2} \over {x + 1945}}\)\( = {{19x + 8} \over {x – 7}}.\left( {{{5x – 9} \over {x + 1945}} – {{4x – 2} \over {x + 1945}}} \right)\)
\(\eqalign{ & = {{19x + 8} \over {x – 7}}.\left( {{{5x – 9} \over {x + 1945}} + {{2 – 4x} \over {x + 1945}}} \right) = {{19x + 8} \over {x – 7}}.{{x – 7} \over {x + 1945}} = {{\left( {19x + 8} \right)\left( {x – 7} \right)} \over {\left( {x – 7} \right)\left( {x + 1945} \right)}} \cr & = {{19x + 8} \over {x + 1945}} \cr} \)
Câu 33: Tính tích x, y , biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số) :
a. \(\left( {4{a^2} – 9} \right)x = 4a + 4\)với a ≠ \( \pm {3 \over 2}\) và \(\left( {3{a^3} + 3} \right)y = 6{a^2} + 9a\) với a ≠ − 1
b. \(\left( {2{a^3} – 2{b^3}} \right)x – 3b = 3a\)với a ≠ b và \(\left( {6a + 6b} \right)y = {\left( {a – b} \right)^2}\) với a ≠ − b
Advertisements (Quảng cáo)
Chú ý rằng\({a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2a.{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} = {\left( {a + {b \over 2}} \right)^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0\).
Do đó nếu a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 thì\({a^2} + ab + {b^2} > 0\)
a. Vì a ≠ \( \pm {3 \over 2}\) nên\(4{a^2} – 9 \ne 0 \Rightarrow x = {{4a + 4} \over {4{a^2} – 9}}\)
Vì a ≠ − 1 nên \(3{a^3} + a \ne 0 \Rightarrow y = {{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + a}}\)
Do đó: \(xy = {{4a + 4} \over {4{a^2} – 9}}.{{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + 3}} = {{4\left( {a + 1} \right).3a\left( {2a + 3} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2a – 3} \right).3\left( {{a^3} + 1} \right)}}\)
\( = {{4a\left( {a + 1} \right)} \over {\left( {2a – 3} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} – a + 1} \right)}} = {{4a} \over {\left( {2a – 3} \right)\left( {{a^2} – a + 1} \right)}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b. Vì a ≠ b nên \(2{a^3} – 2{b^3} \ne 0 \Rightarrow x = {{3a + 3b} \over {2{a^3} – 2{b^3}}}\)
Vì a ≠ − b nên \(6a + 6b \ne 0 \Rightarrow y = {{{{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {6a + 6b}}\)
Do đó: \(xy = {{3a + 3b} \over {2{a^3} – 2{b^3}}}.{{{{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {6a + 6b}} = {{3\left( {a + b} \right){{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {2\left( {{a^3} – {b^3}} \right).6\left( {a + b} \right)}}\)
\( = {{{{\left( {a – b} \right)}^2}} \over {4\left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}} = {{a – b} \over {4\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}\)
Câu 34: Rút gọn biểu thức:
a. \({{{x^4} + 15x + 7} \over {2{x^3} + 2}}.{x \over {14{x^2} + 1}}.{{4{x^3} + 4} \over {{x^4} + 15x + 7}}\)
b. \({{{x^7} + 3{x^2} + 2} \over {{x^3} – 1}}.{{3x} \over {x + 1}}.{{{x^2} + x + 1} \over {{x^7} + 3{x^2} + 2}}\)
a. \({{{x^4} + 15x + 7} \over {2{x^3} + 2}}.{x \over {14{x^2} + 1}}.{{4{x^3} + 4} \over {{x^4} + 15x + 7}}\)
\( = {{\left( {{x^4} + 15x + 7} \right).x.\left( {4{x^3} + 4} \right)} \over {\left( {2{x^3} + 2} \right).\left( {14{x^2} + 1} \right).\left( {{x^4} + 15x + 7} \right)}} = {{4x\left( {{x^3} + 1} \right)} \over {2\left( {{x^3} + 1} \right)\left( {14{x^2} + 1} \right)}} = {{2x} \over {14{x^2} + 1}}\)
b. \({{{x^7} + 3{x^2} + 2} \over {{x^3} – 1}}.{{3x} \over {x + 1}}.{{{x^2} + x + 1} \over {{x^7} + 3{x^2} + 2}}\)\( = {{\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right).3x.\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\left( {{x^3} – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^7} + 3{x^2} + 2} \right)}}\)
\( = {{3x\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{3x} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
Câu 35: Đố: Đố em điền được một phân thức vào chỗ trống trong đẳng thức sau :
\({1 \over x}.{x \over {x + 1}}.{{x + 1} \over {x + 2}}.{{x + 2} \over {x + 3}}.{{x + 3} \over {x + 4}}.{{x + 4} \over {x + 5}}.{{x + 5} \over {x + 6}}.{{x + 6} \over {x + 7}}.{{x + 7} \over {x + 8}}.{{x + 8} \over {x + 9}}.{{x + 9} \over {x + 10}}… = 1\)
\({1 \over x}.{x \over {x + 1}}.{{x + 1} \over {x + 2}}.{{x + 2} \over {x + 3}}.{{x + 3} \over {x + 4}}.{{x + 4} \over {x + 5}}.{{x + 5} \over {x + 6}}.{{x + 6} \over {x + 7}}.{{x + 7} \over {x + 8}}.{{x + 8} \over {x + 9}}.{{x + 9} \over {x + 10}}.{{x + 10} \over 1} = 1\)
