Bài 2.13: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hoà trên trục x với chu kì T = 0,2 s và biên độ A = 0,2 m. Chọn gốc toạ độ O tại vị trí cân bằng, chọn gốc thời gian là lúc con lắc qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
a) Viết phương trình dao động của con lắc.
b) Xác định độ lớn và chiều của các vectơ vận tốc, gia tốc và lực kéo về tai thời điếm t = \( 3T\over 4\)
a) Theo bài ra ta có tần số góc \(\omega ={2 \pi \over T}\) = 10\(\pi\) (rad/s)
Tại thời điểm ban đầu vật ở vị trí cân bằng và đi theo chiều âm nên ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = A\cos \varphi = 0 = > \cos \varphi = 0 \hfill \cr
v = – A\omega \sin \varphi < 0 = > \sin \varphi > 0 \hfill \cr} \right. = > {\pi \over 2} \cr
&}\)
Phương trình dao động của vật là: \(x = 0,2\cos \left( {10\pi t + {\pi \over 2}} \right) \)
b) Tại thời điểm t = \( 3T\over 4\) nên ta có
\(\eqalign{
& \left( {\omega t + \varphi } \right) = \left[ {{{2\pi } \over T}.{{3T} \over 4} + {\pi \over 2}} \right] = 2\pi ;v = – A\omega \sin 2\pi = 0 \cr
& a = – {\omega ^2}A\cos 2\pi = – {\left( {10\pi } \right)^2}\left( {0,2} \right).1 = – 197 \approx – 200m/{s^2} \cr} \)
Ta thấy vecto \(\overrightarrow a \) hướng theo chiều âm của trục x về vị trí cân bằng
\(F = ma = 0,050.( – 197) = – 9,85 \approx – 9,9N < 0\)
Vecto \(\overrightarrow F \) cùng hướng cùng chiều với vecto \(\overrightarrow a \)
Bài 2.14: Một con lắc lò xo có biên độ A = 10,0 cm, có tốc độ cực đại 1,2 m/s và có cơ năng 1 J. Hãy tính
a) Độ cứng của lò xo.
b) Khối lượng của quả cầu con lắc.
c) Tần số dao động của con lắc
chi tiết
a) Độ cứng của của lò xo là : \(k = {{2W} \over {{A^2}}} = {{2.1} \over {0,{1^2}}} = 200N/m\)
b) Khối lượng của quả cầu con lắc là : \({\rm{W}} = {1 \over 2}mv_m^2 => m = {{2W} \over {v_m^2}} = {{2.1} \over {1,{2^2}}} \approx 1,388 \approx 1,39kg\)
c) Tần số dao động của con lắc là : \(\omega = \sqrt {{k \over m}} = \sqrt {{{200} \over {1,39}}} = 12\,rad/s\)
\(f = {\omega \over {2\pi }} = {{12} \over {6,28}} = 1,91Hz\)
Bài 2.15: Một vật có khối lượng 10 g dao động điều hoà với biên độ 24 cm và chu kì 4,0 s. Tại thời điểm t = 0, vật ở vị trí biên x = -A.
a) Viết phương trình dao động của vật.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Tính li độ, gia tốc và lực kéo về tại thời điểm t = 0,5 s.
c) Xác định thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ x = -12 cm và tốc độ của vật tại thời điểm đó.
a) Viết phương trình dao động của vật
\(\omega ={2\pi \over T} ={\pi \over 2}\) rad/s.
Tại t = 0 vật ở biên âm nên ta có x = Acos\(\varphi\) = -A => cos\(\varphi\) = -1 => \(\varphi = \pi\)
Phương trình dao động của vật là x = 24cos(\({\pi\over 2} t + \pi\)) (cm)
b) Tại thời điểm t = 0,5s ta có
Li độ của vật là : \(x = 24\cos {{5\pi } \over 4} = 24.\left( { – {{\sqrt 2 } \over 2}} \right) = – 16,9cm \approx – 17cm\)
Gia tốc của vật là : \(a = – {\omega ^2}x = – {\left( {{\pi \over 2}} \right)^2}.\left( { – 16,9} \right) = 42cm/{s^2}\)
Lực kéo về là : \(F = ma \approx 0,01.0,42 = 0,0042N\)
c) Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí có li độ x = -12 cm
\( – 12 = 24\cos \left( {{\pi \over 2}t + \pi } \right)\)\(= > \cos \left( {{\pi \over 2}t + \pi } \right) = – {1 \over 2}\)
\(= > {\pi \over 2}t + \pi = {\pi \over 3} + \pi = > t = {2 \over 3}s\)
Advertisements (Quảng cáo)
Tốc độ của vật tại thời điểm \(t = {2 \over 3}s\)
\(\eqalign{
& v = – {\pi \over 2}24\sin \left( {{\pi \over 2}t + \pi } \right) = > – {\pi \over 2}24\sin \left( {{\pi \over 2}.{2 \over 3} + \pi } \right) = – 0,12\pi \left( { – {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)m/s \cr
& = > v \approx 0,33m/s \cr} \)
Bài 2.16: Một cori lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 200 g gắn với một lò xo nhẹ, dao động điều hoà theo trục Ox nằm ngang với tần số 2,5 Hz. Trong khi dao động, chiều dài của lò xo biến thiên từ l1= 20 cm đến l2 = 24 cm.
a) Tính biên độ dao động của vật và chiều dài của lò xo khi chưa biến dạng.
b) Viết phương trình dao động của vật, biết rằng khi t = 0 vật ở vị trí biên x = +A.
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng.
a) Biên độ dao động của vật và chiều dài của lò xo khi chưa biến dạng.
\(\eqalign{
& A = {{{l_1} – {l_2}} \over 2} = {{24 – 20} \over 2} = 2cm \cr
& {l_0} = {l_1} + A = 20 + 2 = 22cm \cr} \)
b) Viết phương trình dao động của vật, biết rằng khi t = 0 vật ở vị trí biên x = +A.
Tại thời điểm t =0
A= Acos\(\varphi\) =>cos\(\varphi\) = 1=>\(\varphi\)= 0
x = Acos2\(\pi\)ft = >x= 2cos5\(\pi\)t (cm)
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi đi qua vị trí cân bằng.
Tại vị trí cân bằng vật đạt vận tốc cực đại và gia tốc bằng 0 nên ta có
v= A.\(\omega\) = 2.5\(\pi\)=10\(\pi\) cm/s
a = 0
Bài 2.17: Một con lắc lò xo dao động điều hoà.
a) Tại li độ x bằng một nửa biên độ thì bao nhiêu phần của cơ năng là thế năng ? là động năng ?
b) Tại li độ nào (tính theo biên độ) thì động năng bằng thế năng ?
a) Tại li độ x bằng một nửa biên độ ta có
\(\eqalign{
& W = {1 \over 2}k{A^2}\, \cr
& {W_t} = {1 \over 2}k{x^2} = {1 \over 4}\,.{1 \over 2}k{A^2}\, = {1 \over 4}{\rm{W}} \cr
& {{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} – {{\rm{W}}_t} = {3 \over 4}{\rm{W}} \cr} \)
b) Vị trí động năng bằng thế năng ta có
\(\eqalign{
& {{\rm{W}}_d}{\rm{ = }}{{\rm{W}}_t} \cr
& \Rightarrow {{\rm{W}}_d}{\rm{ + }}{{\rm{W}}_t} = 2{{\rm{W}}_t} = {\rm{W}} \cr
& \Rightarrow {1 \over 2}k{x^2} = {1 \over 2}{\mkern 1mu} .{1 \over 2}k{A^2} \Rightarrow x = \pm {A \over {\sqrt 2 }} \cr} \)
Bài 2.18: Một con lắc lò xo gồm một vật khối lượng 0,5 kg gắn vào đầu tự do của một lò xo nhẹ có độ cứng 20 N/m. Con lắc dao động theo trục Ox nằm ngang với biên độ dao động là 3 cm. Tính:
a) Cơ năng của con lắc và tốc độ cực đại của vật.
b) Động năng và tốc độ của vật tại vị trí có li độ bằng 2,0 cm.
a) Cơ năng của con lắc
\({\rm{W}} = {1 \over 2}k{A^2} = {1 \over 2}.20.{\left( {{{3.10}^{ – 2}}} \right)^2} = {9.10^{ – 3}}J\)
Tốc độ cực đại của con lắc là
\({\rm{W}} = {1 \over 2}mv_{\max }^2\)⇒ \({v_{\max }} = \sqrt {{{2W} \over m}} = \sqrt {{{{{2.9.10}^{ – 3}}} \over {0,5}}} = 0,19m/s\)
b) Động năng của vật tại vị trí có li độ bằng 2 là
\(\eqalign{
& {{\rm{W}}_t} = {1 \over 2}k{x^2} = {1 \over 2}.20.{\left( {{{2.10}^{ – 2}}} \right)^2} = {4.10^{ – 3}} \cr
& {{\rm{W}}_d} = {\rm{W – }}{{\rm{W}}_t} = \left( {9 – 4} \right){.10^{ – 3}} = {5.10^{ – 3}} \cr} \)
Tốc độ của vật tại vị trí có li độ bằng 2,0 cm.
\(v = \sqrt {{{2{W_d}} \over m}} = \sqrt {{{2,{{5.10}^{ – 3}}} \over {0,5}}} = 0,14m/s\)
