Bài 1: Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng \(AB\) cố định dưới một góc vuông.
:
Gọi \(O\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\), vì tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) nên trung tuyến \(MO\) bằng nửa cạnh huyến, tức \(MO = {AB\over2} = R\).
Vậy tập hợp các điểm \(M\) nhìn \(AB\) dưới một góc vuông nằm trên mặt cầu đường kính \(AB\)
Ngược lại, lấy \(M\) thuốc mặt cầu đwòng kính \(AB\) thì \(MO = {AB\over2}\) do đó nếu \(M\) khác \(A\) và \(B\) thì tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\), còn khi \(M = A\) hoặc \(M = B\) ta cũng coi \(M\) nhìn \(AB\) một góc vuông.
Kết luận: Tập hợp các điểm \(M\) trong không gian nhìn đoạn thẳng \(AB\) dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính \(AB\).
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Advertisements (Quảng cáo)
:
Gọi \(I = AC ∩ BD\). Ta thấy \(AC = a\sqrt2 = BD\),
\(SA = SC = a\), nên \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\). Vậy điểm \(S\) nhìn \(AC\) dưới một góc vuông. Các điểm \(B\) và \(D\) cũng nhìn \(AC\) dưới một góc vuông
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đường kính \(AC\). Tâm của cầu là điểm \(I\) và bán kính \(R = {{a\sqrt 2 } \over 2}\). Ta thấy rằng điểm \(I\) cũng là chân đường cao hạ từ đỉnh \(S\) xuống đáy.
Bài 3: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước
:
Giả sử đường tròn cố định \((C)\) tâm \(I\) bán kính \(r\) nằm trên mặt phẳng \((P)\). Xét đường thẳng \(d\) qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Đường thẳng \(d\) được gọi là trục của đường tròn. Giả sử \(O\) là tâm của mặt cầu \((S)\) chứa đường tròn \((C)\) thì \(O\) cách đều mọi điểm của \((C)\).Vì vậy chân đường vuông góc hạc từ \(O\) xuống mặt phẳng \((P)\) chính là tâm \(I\) của \((C)\). Điều đó xảy ra khi và chỉ khi điểm \(O \in d\)
Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.
Bài 4: Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Giả sử tam giác \(ABC\) cho trước nằm trong mặt phẳng \((P)\). mặt cầu \((S)\) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \(ABC\) sẽ giao với mặt phẳng \((P)\) theo một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \(ABC\), chính là đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Theo bài 3, tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác \(ABC\) là trục đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
