Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

Bài 13, 14, 15, 16 trang 215, 216 SBT Toán Đại số 10: Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(1;2), N(3;-5), P(5; 7)

CHIA SẺ
Bài Ôn tập cuối năm SBT Toán Đại số lớp 10. Giải bài 13, 14, 15, 16 trang 215, 216 Sách bài tập Toán Đại số 10. Câu 13: Giải các hệ phương trình sau…

Bài 13: Giải các hệ phương trình sau

a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7; \hfill \cr} \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} – xy = 13 \hfill \cr
x + y – \sqrt {xy} = 3. \hfill \cr} \right.\)

a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{(x + y)^2} + (x + y) = 12 \hfill \cr} \right.\)

Đặt u = x + y ta được \({u^2} + u – 12 = 0\)

Giải ra ta được \({u_1} = 3,{u_2} =  – 4\)

Với u = 3 ta có hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
x + y = 3 \hfill \cr
xy = 2 \hfill \cr} \right.(*)\)

Với u = -4 ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
x + y = – 4 \hfill \cr
xy = 9 \hfill \cr} \right.\) (vô nghiệm)

Đáp số: (1; 2) và (2; 1).

b) Đặt \(\left\{ \matrix{
u = x + y \hfill \cr
v = \sqrt {xy} \hfill \cr} \right.(v \ge 0)\) ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
{u^2} – 3{v^2} = 13 \hfill \cr
u – v = 3 \hfill \cr} \right.\)

hay

\(\left\{ \matrix{
u – v = 3 \hfill \cr
{u^2} – 9u + 20 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được

u = 5, v = 2

hoặc u = 4, v = 1

Vậy

\(\left\{ \matrix{
x + y = 5 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
y = 4 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

và  \(\left\{ \matrix{
x + y = 4 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 2 – \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 – \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là

\((4;1);(1;4);(2 – \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 );(2 + \sqrt 3 ;2 – \sqrt 3 )\)

Bài 14: Giải các hệ phương trình sau

\(\left\{ \matrix{
{x^2} – xy = 28 \hfill \cr
{y^2} – xy = – 12; \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
5(x + y) + 2xy = – 19 \hfill \cr
15xy + 5(x + y) = – 175. \hfill \cr} \right.\)

a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x_{}^2 – xy = 28 \hfill \cr
y_{}^2 – xy = – 12 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x_{}^2 – 2xy + y_{}^2 = 16 \hfill \cr
x_{}^2 – xy = 28 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(x – y)_{}^2 = 16 \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x – y = 4 \hfill \cr
x – y = – 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x – y = 4 \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x – y = – 4 \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 7 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = – 7 \hfill \cr
y = – 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{
5(x + y) + 2xy = – 19 \hfill \cr
15xy + 5(x + y) = – 175 \hfill \cr} \right.\)

Đặt \(\left\{ \matrix{
x + y = a \hfill \cr
xy = b \hfill \cr} \right.\)

ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
5a + 2b = – 19 \hfill \cr
5a + 15b = – 175 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
13b = – 156 \hfill \cr
5a + 2b = – 19 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = – 12 \hfill \cr
a = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left\{ \matrix{
x + y = 1 \hfill \cr
xy = – 12 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \,x,y\) là 2 nghiệm của phương trình

\(X_{}^2 – X – 12 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X_1^{} = – 3 \hfill \cr
X_2^{} = 4 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm

\(\left\{ \matrix{
x = – 3 \hfill \cr
y = 4 \hfill \cr} \right.\)

và \(\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = – 3 \hfill \cr} \right.\)

Bài 15: Giải các bất phương trình sau

a) \(3{x^2} – 7x + 4 \le 0\)

b) \({x^2} – 3x + 5 > 0\)

c) \({x^2} + 4 \ge \left| {3x + 2} \right| – 7x\)

e) \({{2x + 3} \over {{x^2} + x – 12}} \le {1 \over 2}\)

g) \({{{x^4} – 3{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2} – x – 30}} > 0\)

a) \(\left[ {1;{4 \over 3}} \right]\)

b) \(( – \infty ; + \infty )\)

c) \(\left( { – \infty ;{{4 – \sqrt 2 } \over 2}} \right] \cup \left[ {{{5 + \sqrt 3 } \over 2}; + \infty } \right)\)

d) \(\left( { – \infty ;{{ – 5 – \sqrt {19} } \over 3}} \right) \cup \left( {{{4 + \sqrt {19} } \over 3}; + \infty } \right)\)

e) \(( – \infty ; – 4) \cup ( – 3;3) \cup (6; + \infty )\)

g) \(( – \infty ; – 5) \cup (1;2) \cup (6; + \infty )\)

Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(1;2), N(3;-5), P(5; 7).

Giả sử các đỉnh của tam giác có tọa độ lần lượt là

\(A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2}),C({x_3},{y_3})\)

Theo công thức tọa độ trung điểm ta có:

\((I)\left\{ \matrix{
{x_2} + {x_3} = 2{x_M} = 2 \hfill \cr
{x_3} + {x_1} = 2{x_N} = 6 \hfill \cr
{x_1} + {x_2} = 2{x_P} = 10 \hfill \cr} \right.\)

\((II)\left\{ \matrix{
{y_2} + {y_3} = 2{y_M} = 4 \hfill \cr
{y_3} + {y_1} = 2{y_N} = – 10 \hfill \cr
{y_1} + {y_2} = 2{y_P} = 14 \hfill \cr} \right.\)

Cộng từng vế các phương trình của hệ (I) ta được

\(2({x_1} + {x_2} + {x_3}) = 18 =  > {x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\)

Từ đó: \({x_1} = 7;{x_2} = 3;{x_3} =  – 1\)

Tương tự tìm được \({y_1} = 0;{y_2} = 14;{y_3} =  – 10\)

Vậy: \(A(7;0);B(3;14);C( – 1; – 10)\)