Bài 13: Giải các hệ phương trình sau
a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7; \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} – xy = 13 \hfill \cr
x + y – \sqrt {xy} = 3. \hfill \cr} \right.\)
a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{(x + y)^2} + (x + y) = 12 \hfill \cr} \right.\)
Đặt u = x + y ta được \({u^2} + u – 12 = 0\)
Giải ra ta được \({u_1} = 3,{u_2} = – 4\)
Với u = 3 ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x + y = 3 \hfill \cr
xy = 2 \hfill \cr} \right.(*)\)
Với u = -4 ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x + y = – 4 \hfill \cr
xy = 9 \hfill \cr} \right.\) (vô nghiệm)
Đáp số: (1; 2) và (2; 1).
b) Đặt \(\left\{ \matrix{
u = x + y \hfill \cr
v = \sqrt {xy} \hfill \cr} \right.(v \ge 0)\) ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{u^2} – 3{v^2} = 13 \hfill \cr
u – v = 3 \hfill \cr} \right.\)
hay
\(\left\{ \matrix{
u – v = 3 \hfill \cr
{u^2} – 9u + 20 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được
u = 5, v = 2
hoặc u = 4, v = 1
Vậy
\(\left\{ \matrix{
x + y = 5 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
y = 4 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
và \(\left\{ \matrix{
x + y = 4 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 2 – \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 – \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là
\((4;1);(1;4);(2 – \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 );(2 + \sqrt 3 ;2 – \sqrt 3 )\)
Bài 14: Giải các hệ phương trình sau
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – xy = 28 \hfill \cr
{y^2} – xy = – 12; \hfill \cr} \right.\)
\(\left\{ \matrix{
5(x + y) + 2xy = – 19 \hfill \cr
15xy + 5(x + y) = – 175. \hfill \cr} \right.\)
a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x_{}^2 – xy = 28 \hfill \cr
y_{}^2 – xy = – 12 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x_{}^2 – 2xy + y_{}^2 = 16 \hfill \cr
x_{}^2 – xy = 28 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(x – y)_{}^2 = 16 \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x – y = 4 \hfill \cr
x – y = – 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x – y = 4 \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x – y = – 4 \hfill \cr
x(x – y) = 28 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 7 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = – 7 \hfill \cr
y = – 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{
5(x + y) + 2xy = – 19 \hfill \cr
15xy + 5(x + y) = – 175 \hfill \cr} \right.\)
Đặt \(\left\{ \matrix{
x + y = a \hfill \cr
xy = b \hfill \cr} \right.\)
ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
5a + 2b = – 19 \hfill \cr
5a + 15b = – 175 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
13b = – 156 \hfill \cr
5a + 2b = – 19 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = – 12 \hfill \cr
a = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\left\{ \matrix{
x + y = 1 \hfill \cr
xy = – 12 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow \,x,y\) là 2 nghiệm của phương trình
\(X_{}^2 – X – 12 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X_1^{} = – 3 \hfill \cr
X_2^{} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm
\(\left\{ \matrix{
x = – 3 \hfill \cr
y = 4 \hfill \cr} \right.\)
và \(\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = – 3 \hfill \cr} \right.\)
Bài 15: Giải các bất phương trình sau
a) \(3{x^2} – 7x + 4 \le 0\)
b) \({x^2} – 3x + 5 > 0\)
c) \({x^2} + 4 \ge \left| {3x + 2} \right| – 7x\)
e) \({{2x + 3} \over {{x^2} + x – 12}} \le {1 \over 2}\)
g) \({{{x^4} – 3{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2} – x – 30}} > 0\)
a) \(\left[ {1;{4 \over 3}} \right]\)
b) \(( – \infty ; + \infty )\)
c) \(\left( { – \infty ;{{4 – \sqrt 2 } \over 2}} \right] \cup \left[ {{{5 + \sqrt 3 } \over 2}; + \infty } \right)\)
d) \(\left( { – \infty ;{{ – 5 – \sqrt {19} } \over 3}} \right) \cup \left( {{{4 + \sqrt {19} } \over 3}; + \infty } \right)\)
e) \(( – \infty ; – 4) \cup ( – 3;3) \cup (6; + \infty )\)
g) \(( – \infty ; – 5) \cup (1;2) \cup (6; + \infty )\)
Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(1;2), N(3;-5), P(5; 7).
Giả sử các đỉnh của tam giác có tọa độ lần lượt là
\(A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2}),C({x_3},{y_3})\)
Theo công thức tọa độ trung điểm ta có:
\((I)\left\{ \matrix{
{x_2} + {x_3} = 2{x_M} = 2 \hfill \cr
{x_3} + {x_1} = 2{x_N} = 6 \hfill \cr
{x_1} + {x_2} = 2{x_P} = 10 \hfill \cr} \right.\)
và
\((II)\left\{ \matrix{
{y_2} + {y_3} = 2{y_M} = 4 \hfill \cr
{y_3} + {y_1} = 2{y_N} = – 10 \hfill \cr
{y_1} + {y_2} = 2{y_P} = 14 \hfill \cr} \right.\)
Cộng từng vế các phương trình của hệ (I) ta được
\(2({x_1} + {x_2} + {x_3}) = 18 = > {x_1} + {x_2} + {x_3} = 9\)
Từ đó: \({x_1} = 7;{x_2} = 3;{x_3} = – 1\)
Tương tự tìm được \({y_1} = 0;{y_2} = 14;{y_3} = – 10\)
Vậy: \(A(7;0);B(3;14);C( – 1; – 10)\)
