Trang Chủ Bài tập SGK lớp 10 Bài tập Toán 10 Nâng cao

Bài 38, 39, 40, 41 trang 213, 214 SGK Đại số 10 Nâng cao: Một số công thức lượng giác

 Bài 4 Một số công thức lượng giác. Giải bài 38, 39, 40, 41 trang 213, 214 SGK Đại số lớp 10 Nâng cao. Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:; Sử dụng  750 = 450 + 30o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750

Bài 38: Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:

a) \(\cos(α +β)=\cosα+\cosβ\)

b) \(\sin(α -β)=\sinα -\sinβ\)

c) \(\sin(α +β)=\sinα .\cosβ+\cosα.\sinβ\);

d) \(\cos(α -β)=\cosα .\cosβ-\sinα.\sinβ\)

e) \({{\sin 4\alpha } \over {\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

f) \(\sin^2α =\sin2α\)

Đáp án

a) Sai

Vì nếu lấy \(β = 0\) thì \(\cos α + 1\) (vô lý)

b) Sai

Vì nếu lấy \(\alpha  = {\pi  \over 2};\,\beta  =  – {\pi  \over 2}\) thì \(\sin \pi  = 2\sin {\pi  \over 2}\) (vô lý)

c) Đúng

d) Sai

Vì nếu lấy \(\alpha  = {\pi  \over 4};\,\beta  =  – {\pi  \over 4}\) thì \(\cos 0 = {\cos ^2}{\pi  \over 4} – {\sin ^2}{\pi  \over 4} \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)

e) Sai

Vì nếu lấy \(\alpha  = {\pi  \over 8} \Rightarrow {{\sin {\pi  \over 2}} \over {\cos {\pi  \over 4}}} = \tan {\pi  \over 4} \Leftrightarrow \sqrt 2  = 1\) (vô lý)

Advertisements (Quảng cáo)

g) Sai

Vì nếu lấy \(\alpha  = {\pi  \over 2} \Rightarrow {\sin ^2}{\pi  \over 2} = \sin \pi  \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)


Bài 39: Sử dụng  750 = 450 + 30o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750

Sử dụng 15o = 45o – 30o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) \cr&= \cos {45^0}\cos {30^0} – \sin {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 – 1) \cr
& \sin {75^0} = \sin ({45^0} + {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1) \cr
& \tan{75^0} = {{\sqrt 3 + 1} \over {\sqrt 3 – 1}} = 2 + \sqrt 3 \cr
& \cot {75^0} = 2 – \sqrt 3 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {15^0} = \cos ({45^0} – {30^0})\cr& = \cos {45^0}\cos {30^0} + \sin {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1)\,( = \sin{75^0}) \cr
& \sin {15^0} = \sin ({45^0} – {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 – 1) = (\cos{75^0}) \cr
& \tan {15^0} = {{\sqrt 3 – 1} \over {\sqrt 3 + 1}} = 2 – \sqrt 3 \left( { = \cot {{75}^0}} \right) \cr
& \cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 \cr} \)


Bài 40: Chứng minh rằng:

Advertisements (Quảng cáo)

a) \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  + {\pi  \over 4})\)

b) \(\sin \alpha  – \cos \alpha  = \sqrt 2 \sin (\alpha  – {\pi  \over 4})\)

c) \(\tan ({\pi  \over 4} – \alpha ) = {{1 – \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {{3\pi } \over 4} + k\pi )\)

d) \(\tan ({\pi  \over 4} + \alpha ) = {{1 + \tan \alpha } \over {1 – \tan \alpha }}\,\,(\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha  \ne {\pi  \over 4} + k\pi )\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} + \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr
& = \sqrt 2 (\sin \alpha {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos \alpha ) \cr
& = \sin \alpha + \cos \alpha \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha – {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr
& = \sin\alpha – \cos \alpha \cr} \)

c) Ta có:

\(\tan ({\pi  \over 4} – \alpha ) = {{\tan {\pi  \over 4} – \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 – \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\)

d) Ta có:

\(\tan ({\pi  \over 4} + \alpha ) = {{\tan {\pi  \over 4} + \tan \alpha } \over {1 – \tan {\pi  \over 4}\tan \alpha }} = {{1 + \tan \alpha } \over {1 – \tan \alpha }}\,\,\)


Bài 41: a) Biết \(\sin \alpha  = {1 \over 3};\,\,\alpha  \in ({\pi  \over 2};\,\pi )\) , hãy tính giá trị lượng giác của góc 2α  và góc \({\alpha  \over 2}\)

b) Sử dụng \({15^0} = {{{{30}^0}} \over 2}\) , hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.

Đáp án

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\sin \alpha = {1 \over 3} \hfill \cr
{\pi \over 2} < \alpha < \pi \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow \cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = – \sqrt {1 – {1 \over 9}} = – {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

Khi đó:

\(\eqalign{
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.{1 \over 3}( – {{2\sqrt 2 } \over 3}) = – {{4\sqrt 2 } \over 9} \cr
& \cos 2\alpha = 1 – 2{\sin ^2}\alpha = {7 \over 9} \cr
& \tan 2\alpha = {{\sin 2\alpha } \over {\cos 2\alpha }} = – {{4\sqrt 2 } \over 7} \cr
& \cot 2\alpha = – {{7\sqrt 2 } \over 8} \cr} \)

Ta có:

\({\pi \over 4} < {\alpha \over 2} < {\pi \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {\alpha \over 2} > 0 \hfill \cr
\sin {\alpha \over 2} > 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& \cos \alpha = 2{\cos ^2}{\alpha \over 2} – 1 \cr&\Rightarrow \cos {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos \alpha } \over 2}} = \sqrt {{{3 – 2\sqrt 2 } \over 6}} \cr
& \cos \alpha = 1 – {\sin ^2}{\alpha \over 2} \cr&\Rightarrow \sin {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 – \cos \alpha } \over 2}} = \sqrt {{{3 + 2\sqrt 2 } \over 6}} \cr
& \tan {\alpha \over 2} = {{\sin {\alpha \over 2}} \over {\cos {\alpha \over 2}}} = 3 + 2\sqrt 2 \cr
& \cot {\alpha \over 2} = 3 – 2\sqrt 2 \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& 2{\cos ^2}{15^0} = 1 + \cos {30^0} = 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} \cr&\Rightarrow \cos {15^0} = \sqrt {{{2 + \sqrt 3 } \over 2}} \cr
& 2{\sin ^2}{15^0} = 1 – \cos {30^0} = 1 – {{\sqrt 3 } \over 2}\cr& \Rightarrow \sin {15^0} = \sqrt {{{2 – \sqrt 3 } \over 2}} \cr
& \tan {15^0} = \sqrt {{{2 – \sqrt 3 } \over {2 + \sqrt 3 }}} = 2 – \sqrt 3 \cr
& \cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)