Câu 96: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Ta có:
\(\eqalign{
& AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC\left( {gt} \right){\rm{ }}\left( 1 \right); \cr
& {\rm{ }}AM{\rm{ }} = {1 \over 2}AB\left( {gt} \right)\left( 2 \right); \cr
& AN = {1 \over 2}AC\left( {gt} \right)\left( 3 \right) \cr} \)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AM = AN
Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:
\(\widehat {AMI} = \widehat {ANI} = 90^\circ \)
AM = AN (chứng minh trên)
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ∆AMI = ∆ANI (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 97: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:
\(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}} = 90^\circ \)
AB = AC (chứng minh trên)
AD cạnh huyền chung
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Rightarrow \) ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng)
Vậy AD là tia phân giác của góc A.
Câu 98: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
Kẻ \(MH \bot AB,MK \bot AC\)
Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
\(\eqalign{
& \widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \cr
& \widehat {HAM} = \widehat {K{\rm{A}}M\left( {gt} \right)} \cr} \)
AM cạnh huyền chung
\( \Rightarrow \) ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
\(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \)
MH = MK (chứng minh trên)
MB = MC (gt)
Suy ra: ∆MHB = ∆MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat B = \widehat C\) (hai góc tương ứng)
Vậy ∆ABC cân tại A.
