Bài 55: Hỏi các đẳng thức sau có đúng với mọi số nguyên k không?
a) \(\sin ({\pi \over 2} + k\pi ) = {( – 1)^k}\)
b) \(\cos (k\pi ) = {( – 1)^k}\)
c) \(\tan ({\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}) = {( – 1)^k}\)
d) \(\sin ({\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}) = {( – 1)^k}{{\sqrt 2 } \over 2}\)
Đáp án
a) Đúng, thử với k chẵn và k lẻ
b) Đúng, thử với k chẵn và k lẻ
c) Đúng, thử với k = 0, 1, 2, 3
d) Sai, khi k = 1, vế trái là \({{\sqrt 2 } \over 2}\) , vế phải là -\({{\sqrt 2 } \over 2}\)
Bài 56: Tính
a)
\(sin\alpha ,{\rm{ }}cos2\alpha ,{\rm{ }}sin2\alpha ,\,\cos {\alpha \over 2},\sin {\alpha \over 2}\) biết
\(\cos \alpha = {4 \over 5} \) và \(- {\pi \over 2} < \alpha < 0 \)
b) \(\tan ({\pi \over 4} – \alpha )\) biết
\(\left\{ \matrix{
\cos \alpha = – {9 \over {11}} \hfill \cr
\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
c) \({\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha \) biết \(cos2\alpha = {3 \over 5}\)
d)
\(\cos (\alpha – \beta )\) biết \(\left\{ \matrix{
\sin \alpha – \sin \beta = {1 \over 3} \hfill \cr
\cos \alpha – \cos \beta = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
e) \(\sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& – {\pi \over 2} < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha < 0\cr& \Rightarrow \sin \alpha = – \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = – {3 \over 5} \cr
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = – {{24} \over {25}} \cr
& \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1 = {7 \over {25}} \cr
& \cos {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos \alpha } \over 2}} = {{3\sqrt {10} } \over {10}};\cr&\sin {\alpha \over 2} =- \sqrt {{{1 – \cos \alpha } \over 2}} = – {{\sqrt {10} } \over {10}} \cr} \)
b) Vì \(\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \tan \alpha > 0\)
Do đó:
\(\eqalign{
& \tan \alpha = \sqrt {{1 \over {{{\cos }^2}}} – 1} = {{2\sqrt {10} } \over 9} \cr
& \tan ({\pi \over 4} – \alpha ) = {{1 – \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} = {{121 – 36\sqrt {10} } \over {41}} \cr} \)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& {\sin ^4}\alpha – {\cos ^4}\alpha = ({\sin ^2}\alpha – {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha – {\cos ^2}\alpha = – \cos 2\alpha = – {3 \over 5} \cr} \)
d) Ta có:
\(\eqalign{
& {(\sin \alpha – \sin \beta )^2} = {({1 \over 3})^2}\cr& \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta – 2\sin \alpha \sin \beta = {1 \over 9}\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& {(cos\alpha – \cos \beta )^2} = {({1 \over 2})^2}\cr& \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta – 2\cos \alpha \cos \beta = {1 \over 4}\,\,\,(2) \cr} \)
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
\(1 + 1 – 2(cos\alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta ) = {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}}\)
Từ đó: \(\cos (\alpha – \beta ) = {{59} \over {72}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
e) Ta có:
\(\eqalign{
& \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\cr& = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin ({\pi \over 2} – {{3\pi } \over 6})\sin ({\pi \over 2} – {\pi \over {16}}) \cr
& = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\cos {{3\pi } \over {16}}\cos {\pi \over {16}}\cr& = ({1 \over 2}\sin {\pi \over 8})({1 \over 2}\sin {{3\pi } \over 8}) \cr
& = {1 \over 4}\sin {\pi \over 8}\sin ({\pi \over 2} – {\pi \over 8}) \cr&= {1 \over 4}sin{\pi \over 8}\cos {\pi \over 8} = {1 \over 8}\sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over {16}} \cr} \)
Bài 57: Chứng minh rằng:
a) \(2\sin ({\pi \over 4} + \alpha )\sin ({\pi \over 4} – \alpha ) = \cos 2\alpha \)
b) \(sinα (1 + cos2α) = sin2α cosα\)
c) \({{1 + \sin 2\alpha – \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)
d) \(\tan \alpha – {1 \over {\tan \alpha }} = – {2 \over {\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa)
Đáp án
a) Ta có:
\(2\sin ({\pi \over 4} + \alpha ).sin({\pi \over 4} – \alpha ) \)
\(= \cos 2\alpha – \cos {\pi \over 2} = \cos 2\alpha \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& sin\alpha \left( {1 + cos2\alpha } \right) \cr&= \sin \alpha (1 + 2{\cos ^2}\alpha – 1) \cr
& = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha = \sin 2\alpha \cos \alpha \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& {{1 + \sin 2\alpha – \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = {{\sin 2\alpha (1 – \cos 2\alpha )} \over {\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha )}} \cr
& = {{\sin 2\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha } \over {\sin 2\alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }} = {{2\sin \alpha (cos\alpha + sin\alpha )} \over {2\cos \alpha (cos\alpha + sin\alpha )}} \cr&= \tan \alpha \cr} \)
d)
\(\tan \alpha – {1 \over {\tan \alpha }} = 2.{{{{\tan }^2}\alpha – 1} \over {2\tan \alpha }} = – {2 \over {\tan 2\alpha }}\)
Bài 58: Chứng minh rằng:
a) Nếu \(α + β + γ = kπ (k ∈ Z)\) và \(\cosα \cosβ \cosγ ≠ 0\) thì
\( \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma\)
b) Nếu \(0 < \alpha < \beta < \gamma < {\pi \over 2}\) và \(\tan \alpha = {1 \over 8};\,\tan \beta = {1 \over 5};\,\tan \gamma = {1 \over 2}\) thì \(\alpha + \beta + \gamma = {\pi \over 2}\)
c) \({1 \over {\sin {{10}^0}}} – {{\sqrt 3 } \over {\cos {{10}^0}}} = 4\)
Đáp án
a) Ta có: \(α + β + γ = kπ \)
\(⇒ tan (α + β ) = tan(kπ – γ) = – tanγ\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {{\tan \alpha + \tan \gamma } \over {1 – \tan \alpha \tan \beta }} = – \tan \gamma\cr& \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta = – \tan \gamma (1 – \tan \alpha \tan \beta ) \cr
& \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \tan (\alpha + \beta ) = {{\tan \alpha + \tan \beta } \over {1 – \tan \alpha \tan \beta }} = {{{1 \over 8} + {1 \over 5}} \over {1 – {1 \over 8}.{1 \over 5}}} = {1 \over 3} \cr
& \Rightarrow \tan (\alpha + \beta + \gamma ) = {{\tan (\alpha + \beta ) + \tan \gamma } \over {1 – \tan (\alpha + \beta ) \tan \gamma }} \cr&= {{{1 \over 3} + {1 \over 2}} \over {1 – {1 \over 3}.{1 \over 2}}} = 1 \cr} \)
Vì \(0 < \alpha + \beta + \gamma < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \alpha + \beta + \gamma = {\pi \over 4}\)
c) Ta có:
\(\eqalign{
& {1 \over {\sin {{10}^0}}} – {{\sqrt 3 } \over {\cos {{10}^0}}} = {{\cos {{10}^0} – \sqrt 3 \sin {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}} \cr
& = {{2(cos{{60}^0}\cos {{10}^0} – \sin {{60}^0}\sin {{10}^0})} \over {\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}} \cr&= {{2\cos ({{60}^0} + {{10}^0})} \over {{1 \over 2}\sin {{20}^0}}} \cr
& = {{4\cos {{70}^0}} \over {\cos {{70}^0}}} = 4 \cr} \)
