Bài 49: Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) \(co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} – {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right);\)
b) \(sin4x.sin10x – sin11x.sin3x – sin7x.sinx\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& co{s^2}\left( {\alpha + x} \right) + co{s^2}x – 2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha + x} \right) \cr
& = \cos (\alpha + x){\rm{[}}\cos (\alpha + x) – 2\cos \alpha \cos x {\rm{] + co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = \cos (\alpha + x)( – \cos \alpha \cos x- \sin \alpha \sin x ) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = – \cos (\alpha + x)cos(\alpha – x) + {\cos ^2}x \cr
& = – {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2x) + {\cos ^2}x \cr
& = – {1 \over 2}\cos 2\alpha – {{\cos 2x} \over 2} + {\cos ^2}x = – {1 \over 2}\cos 2\alpha + {1 \over 2} \cr
& = {\sin ^2}\alpha \cr} \)
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.
b) Ta có:
\(\eqalign{
& sin4x.sin10x – sin11x.sin3x – sin7x.sinx \cr
& = {1 \over 2}(cos6x – \cos 14x) – {1 \over 2}(cos8x – \cos 14x) \cr&- {1 \over 2}(cos6x – \cos 8x) \cr
& = 0 \cr} \)
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.
Bài 50: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:
a) \(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông
b) \(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân
Đáp án
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có:
\(\eqalign{
& sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B – C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} – \cos {{B – C} \over 2}) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B – C} \over 2}\;(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr} \)
Nhưng: \(0 < {A \over 2} < {\pi \over 2};|{{B – C} \over 2}|\, < {\pi \over 2}\) , nên:
\(\cos {A \over 2} = \cos {{B – C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B – C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B – C|\)
+ Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: \(S = {\pi \over 2}\)
+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: \(C = {\pi \over 2}\)
b) \(sinA = 2sinB.cosC \)
\(⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(⇔ sin A = sin(π – A) + sin(B – C) \)
\(⇔ sin(B – C) = 0\)
Vì \(0 ≤ |B – C| ≤ π\), nên \(B – C = 0\)
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Bài 51: Chứng minh rằng nếu \(∝ + β + γ = π\) thì
a) \(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2}\)
b) \(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2}\)
c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ = 4sin∝ sinβ sin γ\)
d) \(co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }}= 1 – 2cos∝ cosβ cosγ\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma\cr& = \sin \alpha + 2\sin {{\beta + \gamma } \over 2}\cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr
& = \sin \alpha + 2\sin {{\pi – \alpha } \over 2}\cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr&= 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2} + 2\cos {\alpha \over 2} \cos {{\beta – \gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(\sin {\alpha \over 2} + \cos {{\beta – \gamma } \over 2})\cr& = 2\cos {\alpha \over 2}{\rm{[sin}}{{\pi – (\beta + \gamma )} \over 2} + \cos{{\beta – \gamma } \over 2}{\rm{]}} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(cos{{\beta + \gamma } \over 2} + \cos {{\beta – \gamma } \over 2}) \cr
& =4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2} \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \cr&= 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha – \beta } \over 2} + 1 – 2\sin {{2\gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos ({\pi \over 2} – {\gamma \over 2})cos{{\alpha – \beta } \over 2} + 1 – 2{\sin ^2}{\gamma \over 2} \cr&= 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha – \beta } \over 2} – \sin {\gamma \over 2}) \cr
& = 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha – \beta } \over 2} – cos{{\alpha + \beta } \over 2}) \cr
& = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2} \cr} \)
c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ\)
\(= 2sin (∝ + β)cos(∝ – β ) + 2sinγcosγ\)
\(= 2sinγ (cos(∝ – β ) – cos(∝ + β)) \)
\(= 4sin∝ sinβ sin γ\)
d) Ta có:
\(\eqalign{
& co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }} \cr
& {\rm{ = }}{{1 + \cos 2\alpha } \over 2} + {{1\cos 2\beta } \over 2} + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2\beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos (\alpha + \beta )cos(\alpha – \beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos \gamma (\cos \gamma – \cos (\alpha – \beta )) \cr&= 1 – \cos \gamma {\rm{[cos(}}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{) + cos(}}\alpha {\rm{ – }}\beta ){\rm{]}} \cr
& = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2cos \propto {\rm{ }}cos\beta {\rm{ }}cos\gamma \cr} \)
