Bài 38: Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:
a) \(\cos(α +β)=\cosα+\cosβ\)
b) \(\sin(α -β)=\sinα -\sinβ\)
c) \(\sin(α +β)=\sinα .\cosβ+\cosα.\sinβ\);
d) \(\cos(α -β)=\cosα .\cosβ-\sinα.\sinβ\)
e) \({{\sin 4\alpha } \over {\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)
f) \(\sin^2α =\sin2α\)
Đáp án
a) Sai
Vì nếu lấy \(β = 0\) thì \(\cos α + 1\) (vô lý)
b) Sai
Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 2};\,\beta = – {\pi \over 2}\) thì \(\sin \pi = 2\sin {\pi \over 2}\) (vô lý)
c) Đúng
d) Sai
Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 4};\,\beta = – {\pi \over 4}\) thì \(\cos 0 = {\cos ^2}{\pi \over 4} – {\sin ^2}{\pi \over 4} \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)
e) Sai
Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 8} \Rightarrow {{\sin {\pi \over 2}} \over {\cos {\pi \over 4}}} = \tan {\pi \over 4} \Leftrightarrow \sqrt 2 = 1\) (vô lý)
Advertisements (Quảng cáo)
g) Sai
Vì nếu lấy \(\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow {\sin ^2}{\pi \over 2} = \sin \pi \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lý)
Bài 39: Sử dụng 750 = 450 + 30o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750
Sử dụng 15o = 45o – 30o, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) \cr&= \cos {45^0}\cos {30^0} – \sin {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 – 1) \cr
& \sin {75^0} = \sin ({45^0} + {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1) \cr
& \tan{75^0} = {{\sqrt 3 + 1} \over {\sqrt 3 – 1}} = 2 + \sqrt 3 \cr
& \cot {75^0} = 2 – \sqrt 3 \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \cos {15^0} = \cos ({45^0} – {30^0})\cr& = \cos {45^0}\cos {30^0} + \sin {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 + 1)\,( = \sin{75^0}) \cr
& \sin {15^0} = \sin ({45^0} – {30^0}) \cr&= \sin {45^0}\cos {30^0} + \cos {45^0}\sin {30^0} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} – {1 \over 2}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 – 1) = (\cos{75^0}) \cr
& \tan {15^0} = {{\sqrt 3 – 1} \over {\sqrt 3 + 1}} = 2 – \sqrt 3 \left( { = \cot {{75}^0}} \right) \cr
& \cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 \cr} \)
Bài 40: Chứng minh rằng:
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4})\)
b) \(\sin \alpha – \cos \alpha = \sqrt 2 \sin (\alpha – {\pi \over 4})\)
c) \(\tan ({\pi \over 4} – \alpha ) = {{1 – \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\,(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha \ne {{3\pi } \over 4} + k\pi )\)
d) \(\tan ({\pi \over 4} + \alpha ) = {{1 + \tan \alpha } \over {1 – \tan \alpha }}\,\,(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi ;\,\,\alpha \ne {\pi \over 4} + k\pi )\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} + \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr
& = \sqrt 2 (\sin \alpha {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}\cos \alpha ) \cr
& = \sin \alpha + \cos \alpha \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 2 \sin (\alpha – {\pi \over 4}) = \sqrt 2 (\sin \alpha \cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos \alpha ) \cr
& = \sin\alpha – \cos \alpha \cr} \)
c) Ta có:
\(\tan ({\pi \over 4} – \alpha ) = {{\tan {\pi \over 4} – \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}\tan \alpha }} = {{1 – \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\,\)
d) Ta có:
\(\tan ({\pi \over 4} + \alpha ) = {{\tan {\pi \over 4} + \tan \alpha } \over {1 – \tan {\pi \over 4}\tan \alpha }} = {{1 + \tan \alpha } \over {1 – \tan \alpha }}\,\,\)
Bài 41: a) Biết \(\sin \alpha = {1 \over 3};\,\,\alpha \in ({\pi \over 2};\,\pi )\) , hãy tính giá trị lượng giác của góc 2α và góc \({\alpha \over 2}\)
b) Sử dụng \({15^0} = {{{{30}^0}} \over 2}\) , hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.
Đáp án
a) Ta có:
\(\left\{ \matrix{
\sin \alpha = {1 \over 3} \hfill \cr
{\pi \over 2} < \alpha < \pi \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow \cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = – \sqrt {1 – {1 \over 9}} = – {{2\sqrt 2 } \over 3}\)
Khi đó:
\(\eqalign{
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.{1 \over 3}( – {{2\sqrt 2 } \over 3}) = – {{4\sqrt 2 } \over 9} \cr
& \cos 2\alpha = 1 – 2{\sin ^2}\alpha = {7 \over 9} \cr
& \tan 2\alpha = {{\sin 2\alpha } \over {\cos 2\alpha }} = – {{4\sqrt 2 } \over 7} \cr
& \cot 2\alpha = – {{7\sqrt 2 } \over 8} \cr} \)
Ta có:
\({\pi \over 4} < {\alpha \over 2} < {\pi \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {\alpha \over 2} > 0 \hfill \cr
\sin {\alpha \over 2} > 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& \cos \alpha = 2{\cos ^2}{\alpha \over 2} – 1 \cr&\Rightarrow \cos {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos \alpha } \over 2}} = \sqrt {{{3 – 2\sqrt 2 } \over 6}} \cr
& \cos \alpha = 1 – {\sin ^2}{\alpha \over 2} \cr&\Rightarrow \sin {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 – \cos \alpha } \over 2}} = \sqrt {{{3 + 2\sqrt 2 } \over 6}} \cr
& \tan {\alpha \over 2} = {{\sin {\alpha \over 2}} \over {\cos {\alpha \over 2}}} = 3 + 2\sqrt 2 \cr
& \cot {\alpha \over 2} = 3 – 2\sqrt 2 \cr} \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& 2{\cos ^2}{15^0} = 1 + \cos {30^0} = 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} \cr&\Rightarrow \cos {15^0} = \sqrt {{{2 + \sqrt 3 } \over 2}} \cr
& 2{\sin ^2}{15^0} = 1 – \cos {30^0} = 1 – {{\sqrt 3 } \over 2}\cr& \Rightarrow \sin {15^0} = \sqrt {{{2 – \sqrt 3 } \over 2}} \cr
& \tan {15^0} = \sqrt {{{2 – \sqrt 3 } \over {2 + \sqrt 3 }}} = 2 – \sqrt 3 \cr
& \cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 \cr} \)
