Bài 23: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \({\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) – {\sin ^2}({\pi \over 8} – \alpha ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha\)
b) \({\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha – {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} – \alpha ) = {3 \over 2}\)
c) \(\tan ({\pi \over 3} – \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) = \tan 3\alpha \) (khi các biểu thức có ý nghĩa)
Ứng dụng: Tính tan100 tan500 tan1100
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& {\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) – {\sin ^2}({\pi \over 8} – \alpha ) \cr&= {\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) + \sin ({\pi \over 8} – \alpha ){\rm{]}}.\cr&\;\;\;\;\;{\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) – \sin ({\pi \over 8} – \alpha ){\rm{]}} \cr
& {\rm{ = (2sin}}{\pi \over 8}\cos \alpha )(2\cos {\pi \over 8}\sin \alpha ) \cr&= \sin {\pi \over 4}\sin 2\alpha = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha \cr} \)
b) Chú ý rằng:
\(\left\{ \matrix{
\cos {{2\pi } \over 3} = – \cos {\pi \over 3} \hfill \cr
\sin {{2\pi } \over 3} = \sin {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha – {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} – \alpha ) \cr
& = {\cos ^2}\alpha + {(cos\alpha \cos {\pi \over 3} + \sin \alpha \sin {\pi \over 3})^2} \cr&+ {(cos{{2\pi } \over 3}\cos \alpha + \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3})^2} \cr
& = {\cos ^2}\alpha + 2({1 \over 4}{\cos ^2}\alpha + {3 \over 4}{\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {3 \over 2}({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha ) = {3 \over 2} \cr} \)
c) Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& \tan ({\pi \over 3} – \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr
& = {{\sqrt 3 – \tan \alpha } \over {1 + \sqrt 3 \tan \alpha }}\tan \alpha {{\sqrt 3 + \tan \alpha } \over {1 – \sqrt 3 \tan \alpha }} \cr
& = {{3 – {{\tan }^2}\alpha } \over {1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& \tan 3\alpha = {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 – \tan 2\alpha .\tan \alpha }} = {{{{2\tan \alpha } \over {1 – {{\tan }^2}\alpha }} + \tan \alpha } \over {1 – {{2\tan \alpha } \over {1 – {{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha }}\,\, \cr
& = {{3 – {{\tan }^2}\alpha } \over {1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}.\tan\alpha \,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Áp dụng:
\(\eqalign{
& tan{10^0}tan{50^0}tan{110^0} \cr&= \tan ({60^0} – {50^0})\tan {50^0}\tan ({60^0} + {50^0}) \cr
& = \tan {150^0} = – \tan {30^0} = – {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \)
Bài 24: Chứng minh rằng:
a) \(\sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha – \beta ) = si{n^2}\alpha – {\sin ^2}\beta =\)
\({\cos ^2}\beta – {\cos ^2}\alpha \)
b) \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha – tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha – \beta )}}\) (Khi các biểu thức có nghĩa)
Advertisements (Quảng cáo)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& \sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha – \beta )\cr& = (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha ).\cr&(\sin \alpha \cos \beta – \sin \beta \cos \alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\beta – {\sin ^2}\beta {\cos ^2}\alpha \cr&= {\sin ^2}\alpha (1 – {\sin ^2}\beta ) – {\sin ^2}\beta (1 – {\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha – {\sin ^2}\beta = (1 – {\cos ^2}\alpha ) – (1 – {\cos ^2}\beta ) \cr
& = {\cos ^2}\beta – {\cos ^2}\alpha \cr} \)
Chú ý: Có thể áp dụng công thức biến tích thành tổng
b) Ta có:
\(\eqalign{
& \tan \alpha + tan\beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr
& = {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \)
Tương tự: \(\tan \alpha – \tan \beta = {{\sin (\alpha – \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\)
Do đó: \({{\tan \alpha + tan\beta } \over {\tan \alpha – tan\beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha – \beta )}}\)
Bài 25: Tìm các số c và β sao cho: \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi α
Đáp án
Nếu có c và β để cho sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ
Khi \(\alpha = {\pi \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \)
Từ đó: C ≠ 0; \(\sin \beta = \cos \beta = {1 \over C}\)
Vậy:
\(\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
hoặc
\(\left\{ \matrix{
\beta = – {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = – \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi \(α\)
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:
\(\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin (\alpha + {\pi \over 2}) = 2\sin (\alpha + {\pi \over 4})cos{\pi \over 4} \cr
& = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) \cr
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha – \sin ({{3\pi } \over 2} – \alpha )\cr& = 2\cos ({{3\pi } \over 4})\sin (\alpha – {{3\pi } \over 4}) \cr
& = – \sqrt 2 \sin (\alpha – {{3\pi } \over 4}) \cr} \)
