Bài 3 Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Sách bài tập Toán Hình học 10. Giải bài 2.29, 2.30, 2.31, 2.32 trang 101 Sách bài tập Toán Hình học 10. Câu 2.29: Tam giác ABC có cạnh…
Bài 2.29: Tam giác ABC có cạnh \(a = 2\sqrt 3 ,b = 2\) và \(\widehat C = {30^0}\)
a)Tính cạnh c, góc A và diện tích S của tam giác ABC;
b)Tính chiều cao \({h_a}\) và đường trung tuyến \({m_a}\) của tam giác ABC.
a) Theo định lí cô sin ta có:
\(\eqalign{
& {c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C \cr
& = 12 + 4 – 2.2\sqrt 3 .2.{{\sqrt 3 } \over 2} = 4 \cr} \)
Vậy c = 2 và tam giác ABC cân tại A có b = c = 2.
Ta có: \(\widehat C = {30^0}\), vậy \(\widehat B = {30^0}\) và \(\widehat A = {180^0} – ({30^0} + {30^0}) = {120^0}\)
\({S_{ABC}} = {1 \over 2}ac\sin B = {1 \over 2}.2\sqrt 3 .2.{1 \over 2} = \sqrt 3 \)
b) \({h_a} = {{2S} \over a} = {{2\sqrt 3 } \over {2\sqrt 3 }} = 1\). Vì tam giác ABC cân tại A nên \({h_a} = {m_a} = 1\)
Bài 2.30: Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết a = 3, b = 4, c = 6. Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có c = 6 là cạnh lớn nhất của tam giác. Do đó \(\widehat C\) là góc lớn nhất.
\(\eqalign{
& \cos C = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over {2ab}} = {{{3^2} + {4^2} + {6^2}} \over {2.3.4}} \cr
& = – {{11} \over {24}} = > \widehat C \approx {117^0}17′ \cr} \)
Muốn tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất ta dùng công thức Hê – rông để tính diện tích tam giác và từ đó suy ra đường cao tương ứng.
\(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) với \(p = {1 \over 2}(3 + 4 + 6) = {{13} \over 2}\)
\(S = \sqrt {{{13} \over 2}\left( {{{13} \over 2} – 3} \right)\left( {{{13} \over 2} – 4} \right)\left( {{{13} \over 2} – 6} \right)} = {{\sqrt {455} } \over 4}$\)
Ta có:
\({h_c} = {{2S} \over c} = {{\sqrt {455} } \over {2.6}} = {{\sqrt {455} } \over {12}}\)
Bài 2.31: Tam giác ABC có \(a = 2\sqrt 3 ,b = 2\sqrt 2 ,c = \sqrt 6 – \sqrt 2 \). Tính các góc A, B và các độ dài , R, r của tam giác đó.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\eqalign{
& \cos A = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}} \cr
& = {{8 + 6 + 2 – 2\sqrt {12} – 12} \over {4\sqrt 2 (\sqrt 6 – \sqrt 2 )}} = {{4 – 4\sqrt 3 } \over {8\sqrt 3 – 8}} \cr} \)
\( = {{4(1 – \sqrt 3 )} \over {8(\sqrt 3 – 1)}} = – {1 \over 2}\)
\(\eqalign{
& \cos B = {{{c^2} + {a^2} – {b^2}} \over {2.ca}} \cr
& = {{6 + 2 – 2\sqrt {12} + 12 – 8} \over {2.(\sqrt 6 – \sqrt 2 ).2\sqrt 3 }} \cr
& = {{12 – 2\sqrt {12} } \over {4\sqrt {18} – 4\sqrt 6 }} \cr} \)
\( = {{4(3 – \sqrt 3 )} \over {4\sqrt 2 (3 – \sqrt 3 )}} = {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy \(\widehat B = {45^0}\)
\(\eqalign{
& {h_a} = {{2S} \over a} = {{ac\sin B} \over a} = c\sin B \cr
& = (\sqrt 6 – \sqrt 2 ){{\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 3 – 1 \cr} \)
\({b \over {\sin B}} = 2R = > R = {b \over {2\sin B}} = {{2\sqrt 2 } \over {2.{{\sqrt 2 } \over 2}}} = 2\)
\(S = pr = > r = {S \over p} = {{{1 \over 2}ac\sin B} \over {{1 \over 2}(a + b + c)}} = {{ac\sin B} \over {a + b + c}}\)
\( = {{2\sqrt 3 (\sqrt 6 – \sqrt 2 ){{\sqrt 2 } \over 2}} \over {2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 + \sqrt 6 – \sqrt 2 }} = {{\sqrt 3 (\sqrt 6 – \sqrt 2 )} \over {\sqrt 6 + \sqrt 3 + 1}}\)
Bài 2.32: Tam giác ABC có \(a = 4\sqrt 7 cm,b = 6cm,c = 8cm\). Tính diện tích S, đường cao \({h_a}\) và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Gợi ý làm bài
Ta có:
\(\cos A = {{{b^2} + {c^2} – {a^2}} \over {2bc}} = {{36 + 64 – 112} \over {2.6.8}} = – {1 \over 8}\)
\(= > \sin A = \sqrt {1 – {{\cos }^2}A} = \sqrt {1 – {1 \over {64}}} = {{3\sqrt 7 } \over 8}\)
\(S = {1 \over 2}bc\sin A = {1 \over 2}.6.8.{{3\sqrt 7 } \over 8} = 9\sqrt 7 (c{m^2})\)
\(h = {{2S} \over a} = {{18\sqrt 7 } \over {4\sqrt 7 }} = {9 \over 2} = 4,5(cm)\)
\(R = {{abc} \over {4S}} = {{4\sqrt 7 .6.8} \over {4.9\sqrt 7 }} = {{16} \over 3}(cm)\)
