Bài 5: Tính tổng \(S = -1 + \frac{1}{10}- \frac{1}{10^{2}} + … + \frac{(-1)^{n}}{10^{n-1}}+ …\)
Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = – 1\) và \(q = – {1 \over {10}}\)
Vậy \(S = -1 +\frac{1}{10} – \frac{1}{10^{2}}+ … + \frac{(-1)^{n}}{10^{n-1}} + … = \frac{u_{1}}{1-q} = \frac{-1}{1 – (-\frac{1}{10})} = \frac{-10}{11}\).
Bài 6: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn \(a = 1, 020 020 …\) (chu kì là \(02\)). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Ta có \(a = 1, 020 020 … = 1+ \frac{2}{100} + \frac{2}{100^{2}} + …+ \frac{2}{100^{n}}+ …\)
\(= 1 + \frac{\frac{2}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1 + \frac{2}{99}=\frac{101}{99}.\)
Vì \(\frac{2}{100}\), \(\frac{2}{100^{2}}\), …, \(\frac{2}{100^{n}}\), … là một cấp số nhân lùi vô hạn có: \(u_1=\frac{2}{100}\), q = \(\frac{1}{100}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim({n^3} + {\rm{ }}2{n^2}-{\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1)\);
b) \(\lim{\rm{ }}( – {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2)\);
c) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n}- n)\);
d) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n} + n)\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(\lim({n^3} + {\rm{ }}2{n^2}-{\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1)= \lim n^3(1 + \frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}) = +∞\)
b) \(\lim{\rm{ }}( – {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2) = \lim n^2 ( -1 + \frac{5}{n}-\frac{2}{n^{2}}) = -∞\)
c) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n} – n) = \lim \frac{(\sqrt{n^{2}-n}-n)(\sqrt{n^{2}-n}+n)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}\)
\(= \lim \frac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+n} = \lim \frac{-n}{\sqrt{{n^2}\left( {1 – {1 \over n}} \right)}+ n} = \lim \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1} = \frac{-1}{2}\).
d) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n} + n) = \lim \left( {\sqrt {{n^2}\left( {1 – {1 \over n}} \right)} + n} \right) \)
\(= \lim n.\left( {\sqrt {1 – {1 \over n}} + 1} \right)= +∞\).
Bài 8: Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Biết \(\lim u_n= 3\), \(\lim v_n= +∞\).
Tính các giới hạn:
a) \(\lim \frac{3u_{n}-1}{u_{n}+ 1};\)
b) \(\lim \frac{v_{n}+ 2}{v^{2}_{n}-1}\).
a) \(\lim \frac{3u_{n}-1}{u_{n}+ 1}= \frac{3.3-1}{3+ 1} = 2\);
b) \(\lim \frac{v_{n}+ 2}{v^{2}_{n}-1}= \frac{\frac{1}{v_{n}}+\frac{2}{v^{2}_{n}}}{1-\frac{1}{v^{2}_{n}}} = 0\).
