Câu 55: Tìm x, biết :
a. \({{2x + 1} \over {{x^2} – 2x + 1}} – {{2x + 3} \over {{x^2} – 1}} = 0\)
b. \({3 \over {x – 3}} – {{6x} \over {9 – {x^2}}} + {x \over {x + 3}} = 0\)
a. \({{2x + 1} \over {{x^2} – 2x + 1}} – {{2x + 3} \over {{x^2} – 1}} = 0\) điểu kiện \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {{2x + 1} \over {{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} – {{2x + 3} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = 0 \cr & \Rightarrow {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( {2x + 3} \right)\left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow {{2{x^2} + 2x + x + 1 – 2{x^2} + 2x – 3x + 3} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow {{2x + 4} \over {\left( {x + 1} \right){{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = 0 \cr} \)
Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0
\( \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = – 3\)
x = – 3 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức bằng 0.
Câu 56: Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0 :
a. \({x \over {{x^2} – 4}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}?\)
b. \({1 \over {{x^2} + x + 1}} + x – 1?\)
a. \({x \over {{x^2} – 4}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)\( = {x \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)}} + {3 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x – 2} \right)} \over {\left( {x – 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\( = {{{x^2} + 2x + 3x – 6} \over {\left( {x – 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{{x^2} – x + 6x – 6} \over {\left( {x – 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x\left( {x – 1} \right) + 6\left( {x – 1} \right)} \over {\left( {x – 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 6} \right)} \over {\left( {x – 2} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Biểu thức bằng 0 khi \(\left( {x – 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\) và \(\left( {x – 2} \right){\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0\)
\(\left( {x – 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = – 6\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left( {x – 2} \right){\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\)và \(x \ne – 2\)
\(x = 1\) và \(x = – 6\) khác 2 và – 2
Vậy với x = 1 hoặc x = – 6 thì giá trị của biểu thức bằng 0.
b. \({1 \over {{x^2} + x + 1}} + x – 1\)\( = {{1 + \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} \over {{x^2} + x + 1}} = {{1 + {x^3} – 1} \over {{x^2} + x + 1}} = {{{x^3}} \over {{x^2} + x + 1}}\)
Biểu thức bằng 0 khi \({x^3} = 0\) và \({x^2} + x + 1 \ne 0.\)
\({x^3} = 0 \Rightarrow x = 0,{x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {3 \over 4} = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ne 0\)mọi x
Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0.
Câu 57: Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :
a. \({2 \over {x – 3}}\)
b. \({3 \over {x + 2}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
c. \({{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} \over {x – 4}}\)
d. \({{3{x^2} – x + 1} \over {3x + 2}}\)
a. \({2 \over {x – 3}}\) là một số nguyên nên \(2 \vdots \left( {x – 3} \right)\) và \(x \ne 3\)
⇒ x – 3 ∈ Ư(2) = { – 2; -1 ; 1; 2 }
\(\eqalign{& x – 3 = – 2 \Rightarrow x = 1 \cr & x – 3 = – 1 \Rightarrow x = 2 \cr & x – 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \cr & x – 3 = 2 \Rightarrow x = 5 \cr} \)
Vậy với x ∈ { 1; 2; 4; 5 } thì \({2 \over {x – 3}}\)là một số nguyên
b. \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên nên 3 ⋮ (x + 2) và x ≠ – 2
⇒ x + 2 ∈ Ư(3) = { -3; -1; 1; 3 }
\(\eqalign{ & x + 2 = – 3 \Rightarrow x = – 5 \cr & x + 2 = – 1 \Rightarrow x = – 3 \cr & x + 2 = 1 \Rightarrow x = – 1 \cr & x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \cr} \)
Vậy với x ∈ { -5; -3; -1; 1 } thì \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên
c. \({{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} \over {x – 4}}\)\( = {{\left( {3{x^2} + 8x + 33} \right)\left( {x – 4} \right) + 131} \over {x – 4}} = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} \over {x – 4}}\)
Với x là số nguyên ta có : \(3{x^2} + 8x + 33\) là số nguyên
Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131 ⋮ (x – 4 ) và x ≠ 4
⇒ x – 4 ∈ Ư(131) = {-131; -1; 1; 131}
\(\eqalign{ & x – 4 = – 131 \Rightarrow x = – 127 \cr & x – 4 = – 1 \Rightarrow x = 3 \cr & x – 4 = 1 \Rightarrow x = 5 \cr & x – 4 = 131 \Rightarrow x = 135 \cr} \)
Vậy x ∈ {-127; 3; 5; 135} thì ${{3{x^3} – 4{x^2} + x – 1} \over {x – 4}}$ là số nguyên
d. \({{3{x^2} – x + 1} \over {3x + 2}}\)\( = {{\left( {3x + 2} \right)\left( {x – 1} \right) + 3} \over {3x + 2}} = x – 1 + {3 \over {3x + 2}}\) (với \(x \ne – {3 \over 2}\) )
x là số nguyên ta có x – 1 là số nguyên.
Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 ⋮ (3x + 2) và \(x \ne – {3 \over 2}\)
3x + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3 }
\(3x + 2 = – 3 \Rightarrow x = – {5 \over 3} \notin \) (loại)
\(3x + 2 = – 1 \Rightarrow x = – 1\)
\(3x + 2 = 1 \Rightarrow x = – {1 \over 3} \notin \) (loại)
\(3x + 2 = 3 \Rightarrow x = {1 \over 3} \notin \) (loại)
x = – 1 khác \( – {3 \over 2}\)
Vậy với x = – 1 thì biểu thức \({{3{x^2} – x + 1} \over {3x + 2}}\) có giá trị nguyên.
