Câu 52: Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và y ) :
a. \({{{x^2} – {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x – 6y} \right)}}\)
b. \({{2ax – 2x – 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}\) ( a là hằng số khác )
a. \({{{x^2} – {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x – 6y} \right)}}\)xác định khi \(\left( {x + y} \right)\left( {6x – 6y} \right) \ne 0 \Rightarrow \left\{ {\matrix{ {x + y \ne 0} \cr {6x – 6y \ne 0} \cr } } \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne – y} \cr{x – y \ne 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne – y} \cr{x \ne y} \cr} } \right.\)
Điều kiện
\({{{x^2} – {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x – 6y} \right)}} = {{\left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right)} \over {\left( {x + y} \right)6\left( {x – y} \right)}} = {1 \over 6}\)
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y
b. \({{2ax – 2x – 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}\)xác định khi \(4ax + 6x + 9y + 6ay \ne 0\)
\( \Rightarrow 2x\left( {2a + 3} \right) + 3y\left( {2a + 3} \right) = \left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right) \ne 0\)
Vì \(a \ne – {3 \over 2} \Rightarrow 2a + 3 \ne 0 \Rightarrow 2x + 3y \ne 0 \Rightarrow x \ne – {3 \over 2}y\)
điều kiện : \(x \ne – {3 \over 2}y\)với \(a \ne – {3 \over 2}\)
\({{2ax – 2x – 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}} = {{2x\left( {a – 1} \right) + 3y\left( {a – 1} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right)}} = {{\left( {a – 1} \right)\left( {2x + 3y} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right)}} = {{a – 1} \over {2a + 3}}\)
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y
Câu 53: Đố. Đố em tìm được giá trị của x để giá trị của phân thức \({{4{x^2} – 4{x^3} + {x^4}} \over {{x^3} – 2{x^2}}}\) bằng:
Advertisements (Quảng cáo)
a. – 2
b. 2
c. 0
\({x^3} – 2{x^2} = {x^2}\left( {x – 2} \right) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\)và \(x \ne 2\) điều kiện \(x \ne 0,x \ne 2\)
Ta có: \({{4{x^2} – 4{x^3} + {x^4}} \over {{x^3} – 2{x^2}}} = {{{x^2}\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)} \over {{x^2}\left( {x – 2} \right)}} = {{{x^2}{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \over {{x^2}\left( {x – 2} \right)}} = x – 2\)
a. Nếu phân thức đã cho bằng – 2 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng – 2 suy ra: x – 2 = – 2 ⇒ x = 0 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng – 2
b. Nếu phân thức đã cho bằng 2 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng 2 suy ra:
Advertisements (Quảng cáo)
x – 2 = 2 ⇒ x = 4 thì phân thức có giá trị bằng 2.
c. Nếu phân thức có giá trị bằng 0 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng 0 suy ra :
x – 2 = 0 ⇒ x = 2 mà x = 2 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng 0.
Câu 54: Cho biểu thức \({{{x^2} + 2x} \over {2x + 10}} + {{x – 5} \over x} + {{50 – 5x} \over {2x\left( {x + 5} \right)}}\)
a. Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định.
b. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1
c. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng \( – {1 \over 2}\)
d. Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng – 3
a. Biểu thức xác định khi \(2x + 10 \ne 0,x \ne 0\) và \(2x\left( {x + 5} \right) \ne 0\)
\( \Rightarrow x \ne 0\)và \(x \ne – 5\)
Điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne – 5\)
\(\eqalign{ & {{{x^2} + 2x} \over {2x + 10}} + {{x – 5} \over x} + {{50 – 5x} \over {2x\left( {x + 5} \right)}} = {{{x^2} + 2x} \over {2\left( {x + 5} \right)}} + {{x – 5} \over x} + {{50 – 5x} \over {2x\left( {x + 5} \right)}} \cr & = {{{x^3} + 2{x^2} + 2{x^2} – 50 + 50 – 5x} \over {2x\left( {x + 5} \right)}} = {{{x^3} + 4{x^2} – 5x} \over {2x\left( {x + 5} \right)}} = {{x\left( {{x^2} – x + 5x – 5} \right)} \over {2x\left( {x + 5} \right)}} \cr & = {{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 5} \right)} \over {2\left( {x + 5} \right)}} = {{x – 1} \over 2} \cr} \)
b. Nếu giá trị của phân thức bằng 1 thì giá trị của biểu thức \({{x – 1} \over 2}\) cũng bằng 1
Suy ra: \({{x – 1} \over 2} = 1 \Rightarrow x – 1 = 2 \Rightarrow x = 3\) mà x = 3 thỏa mãn điều kiện.
Vậy x = 3 thì giá trị của phân thức bằng 1
c. Nếu giá trị của phân thức bằng \( – {1 \over 2}\) thì giá trị của biểu thức \({{x – 1} \over 2}\) cùng bằng \( – {1 \over 2}\)
Suy ra: \({{x – 1} \over 2} = – {1 \over 2} \Rightarrow x – 1 = – 1 \Rightarrow x = 0\) mà x = 0 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng\( – {1 \over 2}\).
d. Nếu giá trị của phân thức bằng – 3 thì giá trị của biểu thức \({{x – 1} \over 2}\) cũng bằng – 3
Suy ra: \({{x – 1} \over 2} = – 3 \Rightarrow x – 1 = – 6 \Rightarrow x = – 5\) mà x = – 5 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng – 3
