Câu 20: Cộng các phân thức:
a. \({1 \over {\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)}} + {1 \over {\left( {y – z} \right)\left( {z – x} \right)}} + {1 \over {\left( {z – x} \right)\left( {x – y} \right)}}\)
b. \({4 \over {\left( {y – x} \right)\left( {z – x} \right)}} + {3 \over {\left( {y – x} \right)\left( {y – z} \right)}} + {3 \over {\left( {y – z} \right)\left( {x – z} \right)}}\)
c. \({1 \over {x\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)}} + {1 \over {y\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} + {1 \over {z\left( {z – x} \right)\left( {z – y} \right)}}\)
a. \({1 \over {\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)}} + {1 \over {\left( {y – z} \right)\left( {z – x} \right)}} + {1 \over {\left( {z – x} \right)\left( {x – y} \right)}}\)
\(\eqalign{ & = {{z – x} \over {\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)\left( {z – x} \right)}} + {{x – y} \over {\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)\left( {z – x} \right)}} + {{y – z} \over {\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)\left( {z – x} \right)}} \cr & = {{z – x + x – y + y – z} \over {\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)\left( {z – x} \right)}} = 0 \cr} \)
b. \({4 \over {\left( {y – x} \right)\left( {z – x} \right)}} + {3 \over {\left( {y – x} \right)\left( {y – z} \right)}} + {3 \over {\left( {y – z} \right)\left( {x – z} \right)}}\)
\(\eqalign{ & = {{ – 4} \over {\left( {y – x} \right)\left( {x – z} \right)}} + {3 \over {\left( {y – x} \right)\left( {y – z} \right)}} + {3 \over {\left( {y – z} \right)\left( {x – z} \right)}} \cr & = {{ – 4\left( {y – z} \right)} \over {\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} + {{3\left( {x – z} \right)} \over {\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} + {{3\left( {y – x} \right)} \over {\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} \cr & = {{ – 4y + 4z + 3x – 3z + 3y – 3x} \over {\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} = {{z – y} \over {\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} \cr & = {{ – \left( {y – z} \right)} \over {\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} = {{ – 1} \over {\left( {x – z} \right)\left( {y – x} \right)}} = {1 \over {\left( {x – z} \right)\left( {x – y} \right)}} \cr} \)
c. \({1 \over {x\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)}} + {1 \over {y\left( {y – z} \right)\left( {y – x} \right)}} + {1 \over {z\left( {z – x} \right)\left( {z – y} \right)}}\)
\(\eqalign{ & = {1 \over {x\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)}} + {1 \over {y\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)}} + {1 \over {z\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} \cr & = {{yz\left( {y – z} \right)} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} + {{ – xz\left( {x – z} \right)} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} + {{xy\left( {x – y} \right)} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} \cr & = {{{y^2}z – y{z^2} – {x^2}z + x{z^2} + {x^2}y – x{y^2}} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} = {{{z^2}\left( {x – y} \right) + xy\left( {x – y} \right) – z\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} \cr & = {{\left( {x – y} \right)\left( {{z^2} + xy – xz – yz} \right)} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} = {{\left( {x – y} \right)\left[ {x\left( {y – z} \right) – z\left( {y – z} \right)} \right]} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} \cr & = {{\left( {x – y} \right)\left( {y – z} \right)\left( {x – z} \right)} \over {xyz\left( {x – y} \right)\left( {x – z} \right)\left( {y – z} \right)}} = {1 \over {xyz}} \cr} \)
Câu 21: Làm tính cộng các phân thức
a. \({{11x + 13} \over {3x – 3}} + {{15x + 17} \over {4 – 4x}}\)
b. \({{2x + 1} \over {2{x^2} – x}} + {{32{x^2}} \over {1 – 4{x^2}}} + {{1 – 2x} \over {2{x^2} + x}}\)
c. \({1 \over {{x^2} + x + 1}} + {1 \over {{x^2} – x}} + {{2x} \over {1 – {x^3}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
d. \({{{x^4}} \over {1 – x}} + {x^3} + {x^2} + x + 1\)
a. \({{11x + 13} \over {3x – 3}} + {{15x + 17} \over {4 – 4x}}\)\( = {{11x + 13} \over {3\left( {x – 1} \right)}} + {{ – 15x – 17} \over {4\left( {x – 1} \right)}}\)
\(\eqalign{ & = {{4\left( {11x + 13} \right)} \over {12\left( {x – 1} \right)}} + {{3\left( { – 15x – 17} \right)} \over {12\left( {x – 1} \right)}} = {{44x + 52 – 45x – 51} \over {12\left( {x – 1} \right)}} = {{1 – x} \over {12\left( {x – 1} \right)}} \cr & = {{ – \left( {x – 1} \right)} \over {12\left( {x – 1} \right)}} = – {1 \over {12}} \cr} \)
b. \({{2x + 1} \over {2{x^2} – x}} + {{32{x^2}} \over {1 – 4{x^2}}} + {{1 – 2x} \over {2{x^2} + x}}\)\( = {{2x + 1} \over {x\left( {2x – 1} \right)}} + {{ – 32{x^2}} \over {\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} + {{1 – 2x} \over {x\left( {2x + 1} \right)}}\)
\(\eqalign{ & = {{\left( {2x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} + {{ – 32{x^2}.x} \over {x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} + {{\left( {1 – 2x} \right)\left( {2x – 1} \right)} \over {x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} \cr & = {{4{x^2} + 4x + 1 – 32{x^3} + 2x – 1 – 4{x^2} + 2x} \over {x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} = {{ – 32{x^3} + 8x} \over {x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} \cr & = {{ – 8x\left( {4{x^2} – 1} \right)} \over {x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} = {{ – 8x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)} \over {x\left( {2x + 1} \right)\left( {2x – 1} \right)}} = – 8 \cr} \)
c. \({1 \over {{x^2} + x + 1}} + {1 \over {{x^2} – x}} + {{2x} \over {1 – {x^3}}}\)\( = {1 \over {{x^2} + x + 1}} + {1 \over {x\left( {x – 1} \right)}} + {{ – 2x} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\(\eqalign{ & = {{x\left( {x – 1} \right)} \over {x\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + {{{x^2} + x + 1} \over {x\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + {{ – 2x.x} \over {x\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^2} – x + {x^2} + x + 1 – 2{x^2}} \over {x\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {1 \over {x\left( {{x^3} – 1} \right)}} \cr} \)
d. \({{{x^4}} \over {1 – x}} + {x^3} + {x^2} + x + 1\)\( = {{{x^4}} \over {1 – x}} + {{\left( {{x^3} + {x^2} + x + 1} \right)\left( {1 – x} \right)} \over {1 – x}}\)
\( = {{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1 – {x^4} – {x^3} – {x^2} – x} \over {1 – x}} = {1 \over {1 – x}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 22: Cho hai biểu thức:
A =\({1 \over x} + {1 \over {x + 5}} + {{x – 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}}\)
B =\({3 \over {x + 5}}\)
Chứng tỏ rằng A = B
A \( = {1 \over x} + {1 \over {x + 5}} + {{x – 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}} = {{x + 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}} + {x \over {x\left( {x + 5} \right)}} + {{x – 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}}\)
\( = {{x + 5 + x + x – 5} \over {x\left( {x + 5} \right)}} = {{3x} \over {x\left( {x + 5} \right)}} = {3 \over {x + 5}}\)
Vậy A = B
Câu 23: Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó, nó nghỉ lại tại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70km. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h. Vận tốc thực của con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng) là x km/h.
a. Hãy biểu diễn qua x :
– Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì;
– Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội;
– Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
b. Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của con tàu là 20 km/h.
a. Vận tốc đi từ Hà Nội lên Việt Trì ngược dòng là \(x – 5\) (km/h) nên thời gian đi từ Hà Nội đến Việt Trì là \({{70} \over {x – 5}}\) (giờ)
Vận tốc từ Việt Trì về Hà Nội là xuôi dòng : \(x + 5\) (km/h)
Thời gian đi từ Việt Trì về Hà Nội là \({{70} \over {x + 5}}\) (giờ)
Thời gian từ lúc xuất phát đến khi trở về Hà Nội là :
\(\eqalign{ & {{70} \over {x – 5}} + 2 + {{70} \over {x + 5}} = {{70\left( {x + 5} \right)} \over {\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + {{2\left( {x + 5} \right)\left( {x – 5} \right)} \over {\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + {{70\left( {x – 5} \right)} \over {\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cr & = {{70x + 350 + 2{x^2} – 50 + 70x – 350} \over {\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = {{2{x^2} + 140x – 50} \over {\left( {x – 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cr} \) (giờ)
b. Vận tốc lúc ngược dòng \(x – 5 = 20 \Rightarrow x = 25\)
Vận tốc lúc xuôi dòng là 25 + 5 = 30
Thay vào ta có : \({{70} \over {20}} + {{70} \over {30}} + 2 = {7 \over 2} + {7 \over 3} + 2 = {{21} \over 6} + {{14} \over 6} + 2 = {{35} \over 6} + 2 = 7{5 \over 6}\)
