Câu 52: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp điểm trên AC, AB theo thứ tự là D, E. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Tính độ dài các đoạn tiếp tuyến AD, AE theo a, b, c.
Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AE = AD
BE = BF
CD = CF
Mà: AE = AB – BE
AD = AC – CD
Nên: AE + AD = (AB –BE) + (AC – CD)
= AB + AC – (BE + CD)
= AB + AC – (BF + CF)
= AB + AC – BC
Suy ra: AE + AD = c + b – a
Hay: \(AE = AD ={{c + b – a} \over 2}\)
Câu 53: Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r).
Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.
Ta có: IH ⊥ BC (tính chất tiếp tuyến)
Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là tia phân giác của góc BAC.
Tam giác ABC đều nên AI cũng là đường cao của tam giác ABC. Khi đó A, I, H thẳng hàng.
Ta có: HB = HC ( tính chất tam giác đều)
Tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra: AH = 3.HI = 3.r
\(\widehat {HAB} = {1 \over 2}\widehat {BAC} = {1 \over 2}.60^\circ = 30^\circ \)
Tam giác ABH vuông tại H nên ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(BH = AH.tg\widehat {HAB} = 3{\rm{r}}.tg{30^0} = 3{\rm{r}}.{{\sqrt 3 } \over 3} = r\sqrt 3 \)
Mà: \(BC = 2.BH = 2r\sqrt 3 \)
Vậy \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = {1 \over 2}.3r.2r\sqrt 3 = 3{r^2}\sqrt 3 \) (đvdt)
Câu 54: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có AO = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a) Tính độ dài OH.
b) Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
a) Ta có: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra ∆ABC cân tại A.
AO là tia phân giác của góc BAC (tính chất
hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AO là đường cao của tam giác ABC (tính chất
tam giác cân).
Ta có: AO vuông góc với BC tại H
Lại có: AB ⊥ OB (tính chất tiếp tuyến)
Tam giác ABO vuông tại B có BH ⊥ AO
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(O{B^2} = OH.OA \Rightarrow OH = {{O{B^2}} \over {OA}} = {{{3^2}} \over 5} = 1,8\) (cm)
b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABO, ta có:
\(A{O^2} = A{B^2} + B{O^2}\)
Suy ra: \(A{B^2} = A{O^2} – B{O^2} = {5^2} – {3^2} = 16\)
AB = 4 (cm)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
DB = DM
EM = EC
Chu vi của tam giác ADE bằng:
AD + DE + EA = AD + DB + AE + EC
= AB + AC = 2AB
= 2.4 = 8 (cm).
Câu 55: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm).
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?
b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.
c) Tính số đo góc DOE.
a) Ta có: \(AB ⊥ AC \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)
\(AB ⊥ BO \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \)
\( AC ⊥ CO \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \)
Tứ giác ABOC có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Mặt khác: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra tứ giác ABOC là hình vuông.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
DB = DM
EM = EC
Chu vi của tam giác ADE bằng:
AD + DE + EA = AD + DM + ME + EA
= AD + DB + AE + EC
= AB + AC = 2AB
Mà tứ giác ABOC là hình vuông (chứng minh trên) nên:
AB = OB = 2 (cm)
Vậy chu vi của tam giác ADE bằng: 2.2 = 4 (cm)
c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OD là tia phân giác của góc BOM
Suy ra: \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} = {1 \over 2}\widehat {DOM}\)
OE là tia phân giác của góc COM
Suy ra: \(\widehat {COE} = \widehat {EOM} = {1 \over 2}\widehat {COM}\)
Suy ra:
\(\widehat {DOE} = \widehat {DOM} + \widehat {EOM} \)
\(= {1 \over 2}(\widehat {BOM} + \widehat {COM})\)
\(= {1 \over 2}\widehat {COB} = {1 \over 2}90^\circ = 45^\circ \).
