Câu 22: Tìm giao điểm của hai đường thẳng
a) \(\left( {{d_1}} \right):5x – 2y = c\) và \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2,\) biết rằng (d1) đi qua điểm A (5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3);
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = – 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x – by = 5,\) biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2)
a) (d1) \(5x – 2y = c\) đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\(5.5 – 2.\left( { – 1} \right) = c \Rightarrow c = 27\)
Phương trình đường thẳng (d1): \(5x – 2y = 27\)
\(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2\) đi qua điểm B( -7; 3) nên tọa độ của B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\( – 7 + 3b = 2 \Leftrightarrow 3b = 9 \Leftrightarrow b = 3\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):x + 3y = 2\)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x – 2y = 27} \cr
{x + 3y = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{5\left( {2 – 3y} \right) – 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{10 – 15y – 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{ – 17y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 – 3y} \cr
{y = – 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = – 1} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5; -1)
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = 3\) đi qua điểm M (3; 9) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng: \(a.3 + 2.9 = – 3 \Leftrightarrow 3a = – 21 \Leftrightarrow a = – 7\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right): – 7x + 2y = – 3\)
\(\left( {{d_2}} \right):3x – by = 5\) đi qua điểm N (-1; 2) nên tọa độ của N nghiệm đúng phương trình đường thẳng: \(3\left( { – 1} \right) – b.2 = 5 \Leftrightarrow – 2b = 8 \Leftrightarrow b = – 4\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):3x + 4y = 5\)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ – 7x + 2y = – 3} \cr
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x – 3} \over 2}} \cr
{3x + 4.{{7x – 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x – 3} \over 2}} \cr
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x – 3} \over 2}} \cr
{x = {{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{11} \over {17}}} \cr
{y = {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ của điểm (d1) và (d2) là \(\left( {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right)\).
Câu 23: Giải các hệ phương trình
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x – 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y – 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y – 6} \right) = \left( {6x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x – 1} \right) = \left( {x – y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y – x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y – 2} \right) – 2xy} \cr} } \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x – 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y – 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y – 6} \right) = \left( {6x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2xy + 5y – 6y – 15 = 2xy – 2x + 7y – 7} \cr
{12xy – 24x + 3y – 6 = 12xy + 18x – 2y – 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7x – 13y = 8} \cr
{ – 42x + 5y = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{7x – 13.{{42x + 3} \over 5} = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{35x – 546x – 39 = 40} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{ – 511x = 79} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{x = – {{79} \over {511}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = – {{51} \over {73}}} \cr
{x = – {{79} \over {511}}} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { – {{79} \over {511}}; – {{51} \over {73}}} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x – 1} \right) = \left( {x – y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y – x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y – 2} \right) – 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x^2} – x + xy – y = {x^2} + x – xy – y + 2xy} \cr
{{y^2} + y – xy – x = {y^2} – 2y + xy – 2x – 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ – x – y = x – y} \cr
{y – x = – 2x – 2y} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 0} \cr
{x + 3y = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{3y = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{y = 0} \cr} } \right. \cr} \)
Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\).
Câu 24: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
a)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} – {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)
b)
\(\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} – {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)
c)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x – y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} – {1 \over {x – y}} = – {3 \over 8}} \cr} } \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
d)
\(\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x – 3y}} + {5 \over {3x + y}} = – 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} – {5 \over {2x – 3y}} = 21} \cr} } \right.\)
e)
\(\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x – y + 2}} – {5 \over {x + y – 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x – y + 2}} + {2 \over {x + y – 1}} = 4} \cr} } \right.\)
a) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {4 \over 5}} \cr
{a – b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b + {1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{2b = {3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 2}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = {{10} \over 3}} \cr} } \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;{{10} \over 3}} \right)\)
b) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\) ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a – 7b = 9} \cr
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{4a + 9.{{15a – 9} \over 7} = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{28a + 135a – 81 = 245} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{163a = 326} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a – 9} \over 7}} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 2} \cr
{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {1 \over 2}} \cr
{y = {1 \over 3}} \cr} } \right.\)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)\)
c) Đặt \({1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x – y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne \pm y\). Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {5 \over 8}} \cr
{a – b = – {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b – {3 \over 8}} \cr
{b – {3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b – {3 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr
{{1 \over {x – y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 8} \cr
{x – y = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{2y = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (5; 3).
d) Đặt \({1 \over {2x – 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne {3 \over 2}y;x \ne – {1 \over 3}y.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a + 5b = – 2} \cr
{3b – 5a = 21} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{4a + 5.{{5a + 21} \over 3} = – 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{12a + 25a + 105 = – 6} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{37a = – 111} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{a = – 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 2} \cr
{a = – 3} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {2x – 3y}} = – 3} \cr
{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x – 3y = – {1 \over 3}} \cr
{3x + y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{2x – 3\left( {{1 \over 2} – 3x} \right) = {1 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{2x + 9x = – {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{11x = {7 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – 3x} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} – {7 \over {22}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {2 \over {11}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị \(x = {7 \over {66}};y = {2 \over {11}}\) thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right)\)
e) Đặt \({1 \over {x – y + 2}} = a;{1 \over {x + y – 1}} = b.\) Điều kiện \(x – y + 2 \ne 0;x + y – 1 \ne 0.\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7a – 5b = 4,5} \cr
{3a + 2b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{7a – 5.{{4 – 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{14a – 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{29a = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 – 3a} \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {1 \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x – y + 2}} = 1} \cr
{{1 \over {x + y – 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x – y + 2 = 1} \cr
{x + y – 1 = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{y – 1 + y – 1 = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{2y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y – 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 2).
