Câu 55: Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn thì còn có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?
Gọi số hàng cần chuyển là x (tấn)
Số toa tàu để chở là y.
Điều kiện: x > 3 và y ∈ N*.
Xếp vào mỗi toa 15 tấn còn dư 3 tấn, ta có phương trình:
15y = x – 3
Xếp vào mỗi toa 16 tấn thì còn chở thêm được 5 tấn, ta có phương trình:
16y = x + 5
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15y = x – 3} \cr
{16y = x + 5} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 8} \cr
{16.8 = x + 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 8} \cr
{x = 123} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị x = 123, y = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy: Xe lửa có 8 toa và lượng hàng cần chở là 123 tấn.
Câu 56: Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong 12 ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong 7 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.
Gọi thời gian làm riêng xong công việc của đội thứ nhất là x (ngày)
Advertisements (Quảng cáo)
Thời gian làm riêng xong công việc của đội thứ hai là y (ngày)
Điều kiện: x > 12; y > 12
Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được \({1 \over x}\) công việc
Trong 1 ngày đội thứ hai làm được \({1 \over y}\) công việc
Trong 1 ngày cả hai đội làm được \({1 \over 12}\) công việc
Ta có phương trình: \({1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}\)
Hai đội làm chung 8 ngày, đội thứ nhất làm tiếp 7 ngày nữa thì xong công việc, ta có phương trình:
\({8 \over {12}} + {7 \over x} = 1 \Leftrightarrow {2 \over 3} + {7 \over x} = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}} \cr
{{2 \over 3} + {7 \over x} = 1} \cr} } \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {1 \over {12}}} \cr
{{2 \over 3} + 7a = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a + b = {1 \over {12}}} \cr
{a = {1 \over {21}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over {21}} + b = {1 \over {12}}} \cr
{a = {1 \over {21}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {1 \over {28}}} \cr
{a = {1 \over {21}}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over {21}}} \cr
{{1 \over y} = {1 \over {28}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 21} \cr
{y = 28} \cr} } \right.\)
x = 21; y = 28 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy: Đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 21 ngày
Đội thứ hai làm riêng xong công việc trong 28 ngày.
Câu 57: Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe.
Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h)
Xe thứ hai là y (km/h)
Điều kiện: x > 0; y > 0
Hai xe khởi hành cùng một lúc đi ngược chiều nhau thì sau 10 giờ gặp nhau, ta có phương trình:
10x + 10y = 750
Xe thứ nhất đi trước 3 giờ 45 phút, xe thứ hai đi được 8 giờ thì gặp nhau như vậy thời gian đi xe thứ nhất là 11 giờ 45 phút \( = {{47} \over 4}\) giờ.
Ta có phương trình: \({{47} \over 4}.x + 8y = 750\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{10x + 10y = 750} \cr
{{{47} \over 4}x + 8y = 750} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 75} \cr
{47x + 32y = 3000} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 75 – x} \cr
{47x + 32\left( {75 – x} \right) = 3000} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 75 – x} \cr
{47x – 32x = 3000 – 2400} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 75 – x} \cr
{15x = 600} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 75 – x} \cr
{x = 40} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 35} \cr
{x = 40} \cr} } \right. \cr} \)
x = 40; y = 35 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy: Vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h
Vận tốc xe thứ hai là 35 km/h.
