Câu 68: Khử mẫu của mỗi biểu thức lấy căn và rút gọn ( nếu được):
a) \(\sqrt {{2 \over 3}} \);
b) \(\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} \) với \(x \ge 0\);
c) \(\sqrt {{3 \over x}} \) với x>0;
d) \(\sqrt {{x^2} – {{{x \over 7}}^2}} \) với x<0.
a) \(\sqrt {{2 \over 3}} \) = \(\sqrt {{{2.3} \over {{3^2}}}} = {1 \over 3}\sqrt 6\)
b) \(\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} \) \( = \sqrt {{{{x^2}} \over 5}} = \sqrt {{{{x^2}.5} \over {{5^2}}}} = {x \over 5}\sqrt 5 \) (với \(x \ge 0\))
c) \(\sqrt {{3 \over x}} \) \( = \sqrt {{{3x} \over {{x^2}}}} = {1 \over {\left| x \right|}}\sqrt {3x} = {1 \over x}\sqrt {3x} \) (với x>0)
d) \(\sqrt {{x^2} – {{{x \over 7}}^2}} \) \( = \sqrt {{{7{x^2} – {x^2}} \over 7}} \)
\( = \sqrt {{{42{x^2}} \over {49}}} = {{\left| x \right|} \over 7}\sqrt {42} = – {x \over 7}\sqrt {42} \) (với x<0)
Câu 69: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn ( nếu được):
a) \({{\sqrt 5 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}\);
b) \({{26} \over {5 – 2\sqrt 3 }}\);
c) \({{2\sqrt {10} – 5} \over {4 – \sqrt {10} }}\);
d) \({{9 – 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6 – 2\sqrt 2 }}\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({{\sqrt 5 – \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}\) \( = {{(\sqrt 5 – \sqrt 3 )\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt {10} – \sqrt 6 } \over 2}\)
b) \({{26} \over {5 – 2\sqrt 3 }}\) \( = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {(5 – 2\sqrt 3 )(5 + 2\sqrt 3 )}} = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {25 – 12}}\)
\( = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {13}} = 2(5 + 2\sqrt 3 ) = 10 + 4\sqrt 3 \)
c) \({{2\sqrt {10} – 5} \over {4 – \sqrt {10} }}\) \( = {{2\sqrt {2.5} – \sqrt {{5^2}} } \over {2\sqrt {{2^2}} – \sqrt {2.5} }}\)
\( = {{\sqrt 5 (2\sqrt 2 – \sqrt 5 )} \over {\sqrt 2 (2\sqrt 2 – \sqrt 5 )}} = {{\sqrt 5 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 5 .\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}}\) \( = {{\sqrt {10} } \over 2}\)
d) \({{9 – 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6 – 2\sqrt 2 }}\) \(= {{3\sqrt {{3^2}} – 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt {3.2} – 2\sqrt 2 }}\)
\( = {{\sqrt 3 (3\sqrt 3 – 2)} \over {\sqrt 2 (3\sqrt 3 – 2)}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt {3.} \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
Câu 70: Rút gọn các biểu thức:
a) \({2 \over {\sqrt 3 – 1}} – {2 \over {\sqrt 3 + 1}}\)
b) \({5 \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )}} – {5 \over {12(2\sqrt 5 – 3\sqrt 2 )}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) \({{5 + \sqrt 5 } \over {5 – \sqrt 5 }} + {{5 – \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}\)
d) \({{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} – 1}} – {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1}}\)
a) \({2 \over {\sqrt 3 – 1}} – {2 \over {\sqrt 3 + 1}}\) \(= {{2(\sqrt 3 + 1) – 2(\sqrt 3 – 1)} \over {(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 – 1)}}\)
\( = {{2\sqrt 3 + 2 – 2\sqrt 3 + 2} \over {3 – 1}} = {4 \over 2} = 2\)
b) \({5 \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )}} – {5 \over {12(2\sqrt 5 – 3\sqrt 2 )}}\)
\( = {{5(2\sqrt 5 – 3\sqrt 2 ) – 5(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )} \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )(2\sqrt 5 – 3\sqrt 2 )}}\)
\(\eqalign{
& = {{10\sqrt 5 – 15\sqrt 2 – 10\sqrt 5 – 15\sqrt 2 } \over {12(20 – 18)}} \cr
& = {{ – 30\sqrt 2 } \over {12.2}} = – {{5\sqrt 2 } \over 4} \cr} \)
c) \({{5 + \sqrt 5 } \over {5 – \sqrt 5 }} + {{5 – \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}\) \(= {{{{(5 + \sqrt 5 )}^2} + {{(5 – \sqrt 5 )}^2}} \over {(5 + \sqrt 5 )(5 – \sqrt 5 )}}\)
\( = {{25 + 10\sqrt 5 + 5 + 25 – 10\sqrt 5 + 5} \over {25 – 5}} = {{60} \over {20}} = 3\)
d) \({{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} – 1}} – {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1}}\)
\( = {{\sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1) – \sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3 + 1} – 1)} \over {(\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1)(\sqrt {\sqrt 3 + 1} – 1)}}\)
\(\eqalign{
& = {{\sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 – \sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1 – 1}} \cr
& = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr} \)
Câu 71: Trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1
Chứng minh đẳng thức:
\(\sqrt {n + 1} – \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\) với n là số tự nhiên.
Ta có: \({1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\) \( = {{\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \over {(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )(\sqrt {n + 1} – \sqrt n )}}\)
\( = {{\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \over {{{(\sqrt n + 1)}^2} – {{(\sqrt n )}^2}}}\)
\( = {{\sqrt {n + 1} – \sqrt n } \over {n + 1 – n}} = \sqrt {n + 1} – \sqrt n \)
(với n là số tự nhiên)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
