Bài 17: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:\( – i\);\(4i\);\( – 4\);\(1 + 4\sqrt 3 i\).
Giải
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(-i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = – i \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = – i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} – {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 2xy = – 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Từ (2) suy ra \(y = – {1 \over {2x}}\) thế vào (1) ta được:
\({x^2} – {1 \over {4{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = {1 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = – {1 \over {2x}} = – {1 \over {\sqrt 2 }}\)
+) Với \(x = – {1 \over {\sqrt 2 }}\)ta có \(y = – {1 \over {2x}} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)
Hệ có hai nghiệm là: \(\left( { – {1 \over {\sqrt 2 }},{1 \over {\sqrt 2 }}} \right),\left( {{1 \over {\sqrt 2 }}, – {1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)
Vậy \(–i\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = – {1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i\),\({z_2} = {1 \over {\sqrt 2 }} – {1 \over {\sqrt 2 }}i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(4i\), ta có:
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 4i \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = 4i\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} – {y^2} = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr xy = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Thay \(y = {2 \over x}\) vào phương trình thứ nhất ta được:
Advertisements (Quảng cáo)
\({x^2} – {4 \over {{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^4} = 4 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \)
+) Với \(x = \sqrt 2 \) ta có \(y = {2 \over x} = \sqrt 2 \);
+) Với \(x = – \sqrt 2 \) ta có \(y = – \sqrt 2 \)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\),\(\left( { – \sqrt 2 ; – \sqrt 2 } \right)\)
Vậy \(4i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = \sqrt 2 + \sqrt 2 i\); \({z_2} = – \sqrt 2 – \sqrt 2 i\)
* Ta có \( – 4 = 4{i^2} = {\left( {2i} \right)^2}\) do đó \(-4\) có hai căn bậc hai là \( \pm 2i\)
* Giả sử \(z=x+yi\) là căn bậc hai của \(1 + 4\sqrt 3 i\).
\({\left( {x + yi} \right)^2} = 1 + 4\sqrt 3 i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} – {y^2} = 1 \hfill \cr \,2xy = 4\sqrt 3 \, \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} – {{12} \over {{x^2}}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = {{2\sqrt 3 } \over x} \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)hoặc \(\left\{ \matrix{ x = – 2 \hfill \cr y = – \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
Hệ có hai nghiệm \(\left( {2;\sqrt 3 } \right),\left( { – 2; – \sqrt 3 } \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là:\({z_1} = 2 + \sqrt 3 i\),\({z_2} = – 2 – \sqrt 3 i\)
Bài 18: Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \({\rm{w}}\) thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \).
Giải
Giả sử \(z=x+yi\) và \(\rm{w}=a+bi\)
\(z\) là một căn bậc hai của số phức w thì \({z^2} = {\rm{w}}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = a + bi \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – {y^2} = a \hfill \cr
2xy = b \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)^2} = {a^2} \hfill \cr
4{x^2}{y^2} = {b^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2} \cr} \)
\( \Rightarrow {\left| z \right|^2} = \left| {\rm{w}} \right| \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left| z \right|}^2}} = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)
Bài 19: Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:
a) \({z^2} = z + 1\);
b) \({z^2} + 2z + 5 = 0\)
c) \({z^2} + \left( {1 – 3i} \right)z – 2\left( {1 + i} \right) = 0\).
Giải
a) Ta có \({z^2} = z + 1 \Leftrightarrow {z^2} – z = 1 \Leftrightarrow {z^2} – z + {1 \over 4} = {5 \over 4}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {z – {1 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow z – {1 \over 2} = \pm {{\sqrt 5 } \over 2} \Leftrightarrow z = {1 \over 2} \pm {{\sqrt 5 } \over 2}\)
b) \({z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = – 4 = {\left( {2i} \right)^2} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 1 = 2i \hfill \cr z + 1 = – 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = – 1 + 2i \hfill \cr z = – 1 – 2i \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ { – 1 + 2i; – 1 – 2i} \right\}\)
c) \({z^2} + \left( {1 – 3i} \right)z – 2\left( {1 + i} \right) = 0\) có biệt thức
\(\Delta = {\left( {1 – 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right) = 1 – 9 – 6i + 8 + 8i \)
\(= 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}\)
Do đó phương trình có hai nghiệm là: \({z_1} = {1 \over 2}\left[ { – 1 + 3i + \left( {1 + i} \right)} \right] = 2i\)
\({z_2} = {1 \over 2}\left[ { – 1 + 3i – \left( {1 + i} \right)} \right] = – 1 + i\)
Vậy \(S = \left\{ {2i; – 1 + i} \right\}\)
